第2讲-弹性力学基础及有限元法的基本原理

第二讲弹性力学基础与有限元法的基本原理第一节弹性力学基础知识•弹性力学中的物理量1、载荷定义：作用在弹性体上的力（力矩），又称外力。载荷可分为：体力、面力、集中力1）体力定义：分布于整个弹性体体积内的外力。如：重力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：TvvxvyvzPppp2）面力定义：作用于弹性体表面上的外力，如：流体压力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：3）集中力定义：集中在某一点上的外力，如：牵引力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：TssxsyszPpppTccxcyczPppp2、应力（注意下标）定义：弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上的内力，反映了内力在截面上的分布密度。微元体表面上的应力：一个正应力（拉压）两个切应力（剪切）切应力互等定律：弹性体内某一点的应力状态由六个应力所决定应力向量可以表示为：,,xyyxyzzyzxxzTxyzxyyzzx3、应变（对应于应力）定义：微元体体发生变形后，单位长度的变形量。对应于应力，应变向量可以表示为：4、位移定义：弹性体内质点位置的变化位移向量可以表示为：TxyzxyyzzxTduvw•弹性力学的基本方程主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系1、平衡方程（应力间的关系）000yxxzxvxxyyzyvyyzxzzvzpxyzpxyzpxyz2、几何方程（应变与位移的关系）000000000xyzxyyzzxxuxvyyuwzzvuvyxwyxvwzyzywuxzzx3、物理方程（应力与应变之间的关系）111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG2(1)EGEG其中:为杨氏弹性模量为柏松比为剪切弹性模量且:100011100011100011(1)12(1)(12)000002(1)12000002(1)12000002(1)DED因此物理方程可以简写为：•未知数应力6个+应变6个+位移3个=15个•方程个数平衡方程3个+几何方程6个+物理方程6个=15个原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移分量为基本未知量•虚位移原理1、虚功与虚应变能弹性体在外力作用下变形，外力对弹性体做功，所做的功以应变能的形式储存于弹性体中。弹性体单位体积的应变能为：虚位移定义：在约束条件允许的范围内弹性体可能发生的任意微小位移。虚位移与时间及外载荷无关实际位移是在外载荷作用下可能的虚位移12TU弹性体在平衡状态下发生虚位移1）外力所做的虚功为：2）应力在虚应变上所做的虚功，也就是存储在弹性体内的虚应变能为：TWfRWfR其中：为虚功，为虚位移，为外力。TVUdV2、虚位移原理表述：如果在在虚位移发生之前弹性体是平衡的，那么在虚位移发生时外力在虚位移上所做的功就等于弹性体的虚应变能。即：当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：WUTTTcvsvsWfPfPdVfPdS•平面问题定义严格地讲，任何结构都是空间的对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。1、平面应力问题满足条件：1）几何条件厚度尺寸远远小于截面尺寸2）载荷条件载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用此时，应力应变分量变为：几何方程物理方程001zxzyzzxzyzxy以及TxyxyTxyxy00xyxyxuvxyxx2101011002DED2、平面应变问题满足条件1）几何条件结构呈等截面的细长形2）载荷条件载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布，两个端面不受力此时，00zxyzzyzzxzxy以及应力应变分量变为：物理方程TxyxyTxyxy1011101121120021DED•弹性力学的参量及方程汇总1）参量位移：应力：应变：2）方程平衡方程：几何方程：物理方程：TduvwTxyzxyyzzxTxyzxyyzzx0TvLPLdDTvvxvyvzPppp其中：100011100011100011(1)12(1)(12)000002(1)12000002(1)12000002(1)ED000000000xyzLyxzyzx111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG12）没有正应力没有正应变）没有正应变没有正应力3）没有应变没有位移4）没有位移没有应变第二节平面问题的有限元法00,zzTduv平面应力平面问题平面应变共同点：三个方向的位移只有两个是独立的即：•平面问题的有限元分析步骤（平面应力问题）1、结构离散离散：将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元的组合单元也称为网格连续体→有限个单元的组合体可用于离散的单元•三角形单元•矩形单元•不规则四边形单元DOF节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度单元参数只能通过节点传递到相邻单元单元和节点必须统一编号2、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程因此必须建立坐标系，如下图：1）位移函数分片插值→假设一种函数来表示单元位移分布一般选取多项式（简单而且易求导）对于三角形单节点单元（DOF=6）2212345622123456(,)(,)uxyxyxxyyvxyxyxxyy123456(,)(,)uxyxyvxyxy（2-1）126123456123456123456,6,,,iijjmmiiiiiijjjjjjmmmmmmuvuvuvuxyvxyuxyvxyuxyvxy是个待定系数(广义坐标)，可以表示为节点坐标和位移的函数.设三个节点的位移分别为、和，将其与节点坐标一起代入（2-1）可得：(2-2):,,,,,,112212ijmmjijmijmjmiimjmijmimjmmjmijmijiijjmmiijjmmiijjmmaxyxybyycxxaxyxybyycxxaxyxybyycxxauauaubububuAAcucucuA123设求解方程（2-2）得：121122iijjmmiijjmmiijjmmavavavAbvbvbvcvcvcvAA45611:1211[2]1[2]iijjmmiiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmxyAxyxyuabxcyuAabxcyuabxcyuvabxcyvAabxcyvabxcyv其中为三角形单元的面积则位移函数可以表示为：121(23)212(24)iiiijjjjmmmmiijjmmiijjmmNabxcyANabxcyANabxcyAuNuNuNuvNvNvNv引入形函数：则单元位移可以表示为：000000eijmijmTeiijjmmNNNNNNNquvuvudNqv用矩阵表示为：其中：为形函数矩阵为单元节点位移列阵形函数只与节点坐标有关而与节点位移无关单元的位移函数就可以表示为：单元坐标的函数与节点位移列阵的乘积10,iiiiiuvuNvNNi形函数的物理意义：当，而另两个节点位移为的时候因此，是当节点在某坐标上发生单位位移而其他节点的位移为0时，单元内的位移分布1(,)1(,)(,)0(,)1(,)(,)0(,)1(,)(,)0(,)(,)(,)1iiiiijjimmjjjjiijmmmmmmiiijjijmNiNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxy形函数的性质：）在节点上值为1，而在其他节点处为0,,,2）单元的任意一点处，三个形函数之和为1(刚体位移)3)单元每一条边的形函数只与该边的节点位置(,)1,(,),(,)0iiijmjijixxxxNxyNxyNxyxxxx有关而与其它节点位置无关，如在i,j边上:位移函数应该满足以下几个条件（1）包括常数项（保证刚体位移）（2）包括一次项（保证常应变）（3）保证位移的连续性（性质3保证）（4）各项几何同性（x,y应该是可以互换的）(,)(,)0(,)(,)mniijjiijjNxyNxyuxyNuNuvxyNvNv满足上述三个条件的目的是满足有限元的收敛性（1）和（2）是收敛的必要条件完备性条件（3）是收敛的充分条件协调条件注意：非协调单元的解不一定不收敛2)单元应力和应变将位移表达式（2-3）和（2-4）代入几何方程得：26350000010002xyxyiiijmejijmjiijjmmmmxuvyyxxuvbbbucccBqvAcbcbcbuv000000ijmijmijmiijjmmBLNbbbcccBBBcbcbcb其中：应变矩阵则应变向量可以表示为：[D]、[B]均为常数矩阵，因此三角形三节点单元为常应力单元。2(,,)211122eeijmllllllllDDBqSqSDBSSSbcESbc