洛必达法则详述与其在高考中的实际运用

一．L’Hospital法则（洛必达法则）法则1设函数fx()和gx()在点a的某个去心邻域oUa,d()内有定义，且满足：(1)limx®afx()=0及limx®agx()=0；(2)fx()和gx()在oUa,d()内可导，且¢gx()¹0；(3)limx®a¢fx()¢gx()=A（A为常数，或为∞）则有limxafxgx=limx®a¢fx()¢gx()=A。法则2设函数fx()和gx()在点a的某个去心邻域oUa,d()内有定义，且满足：(1)limxagx；(2)fx()和gx()在oUa,d()内可导,且¢gx()¹0；(3)limx®a¢fx()¢gx()=A（A为常数，或为∞）则有limxafxgx=limx®a¢fx()¢gx()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x®+a，x®-a洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理00，，0，1，0，00，型。3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，，0，1，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。0型：limx®0+xlnx=limx®0+lnx1x(化为型)=limx®0+1x1lnx(化为00型，但无法求解)¥-¥型：limx®p2tanx-secx()=limx®p2sinx-1cosx=limx®p2cosx-sinx=0(通分后化为00型)1型：limx®0cosx()1x2=elimx®0lncosxx2=elimx®0-sinxcosx×2x=e-12(化为00型)0型：limx®+¥xsin1x=elimx®+¥sin1x×lnx=elimx®+¥lnxx=elimx®+¥1x=1(化为型)00型：limx®0+xsinx=elimx®0+lnxcscxelimx®0+1x-cscxcotx()=elimx®0+-sinxx×tanx=1(化为型)变形举例:limx®-¥x1+x2=limx®-¥-11+1x2=-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围原解：（1）0a时，()1xfxex，'()1xfxe.当(,0)x时，'()0fx；当(0,)x时，'()0fx.故()fx在(,0)单调减，在(0,)单调增（II）'()12xfxeax由（I）知1xex，当且仅当0x时等号成立.故'()2(12)fxxaxax，从而当120a，即12a时，'()0(0)fxx，而(0)0f，于是当0x时，()0fx.由1(0)xexx可得1(0)xexx.从而当12a时，'()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea，故当(0,ln2)xa时，'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx.综合得a的取值范围为1,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当0x时，()0fx，对任意实数a,均在()0fx；当0x时，()0fx等价于21xxaex令21xxgxex(x0),则322()xxxxgxeex，令220xxhxxxxee，则1xxhxxee，0xhxxe，知hx在0,上为增函数，00hxh；知hx在0,上为增函数，00hxh；0gx，g(x)在0,上为增函数。由洛必达法则知，200011222limlimlimxxxxxxxxeeex，故12a综上，知a的取值范围为1,2。