线性代数-矩阵的基本运算

1第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节基本运算基本运算基本运算基本运算基本运算基本运算基本运算基本运算定义定义定义定义定义定义定义定义运算规则运算规则运算规则运算规则运算规则运算规则运算规则运算规则矩阵运用的例矩阵运用的例矩阵运用的例矩阵运用的例矩阵运用的例矩阵运用的例矩阵运用的例矩阵运用的例在定义矩阵运算之前在定义矩阵运算之前在定义矩阵运算之前在定义矩阵运算之前，，，，先规定矩阵相等的含义先规定矩阵相等的含义先规定矩阵相等的含义先规定矩阵相等的含义。。。。两个矩阵两个矩阵两个矩阵两个矩阵为为为为同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵,并并并并且对应元素相等且对应元素相等且对应元素相等且对应元素相等,即即即即()()ijbA=,B=ija()⋯⋯ijija=bi=1,2,,m;j=1,2,,n,则称则称则称则称矩阵矩阵矩阵矩阵相等相等相等相等,记作记作记作记作BA与与与与.BA====定义定义定义定义（（（（矩阵相等矩阵相等矩阵相等矩阵相等））））11定义定义定义定义定义定义定义定义（（矩阵的数乘）矩阵的数乘）.112222111211========mnmmnnaaaaaaaaaAAλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(),ijmnAaAAλλλ×=数与矩阵的乘积记作或规定为一、数与矩阵相乘一、数与矩阵相乘例如例如例如例如若若若若====1086284A则则则则====54314221A====302416624123A显然显然显然显然，，，，对于数对于数对于数对于数0和和和和1及任意的矩阵及任意的矩阵及任意的矩阵及任意的矩阵A，，，，有有有有0A=001A=A(((())))(((())))(((())));1AAμμμμλλλλλμλμλμλμ====(((())))(((())));2AAAμμμμλλλλμμμμλλλλ++++====++++2222、、、、数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律（（（（设设设设为为为为矩阵矩阵矩阵矩阵，，，，为数为数为数为数））））μμμμλλλλ,nm××××BA、、、、++++++++++++++++++++++++++++++++++++====++++mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯221122222221211112121111设有两个设有两个设有两个设有两个矩阵矩阵矩阵矩阵那末矩阵那末矩阵那末矩阵那末矩阵与与与与的和记作的和记作的和记作的和记作，，，，规定为规定为规定为规定为nm××××,=,=ijijAaBbABBA++++11定义定义二、矩阵的加法二、矩阵的加法2即即即即[[[[]]]][[[[]]]][[[[]]]]ijijdefijijbabaBA++++====++++====++++====++++975345321222654123----====----++++1046238812例如例如例如例如定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件，，，，故在认为记号故在认为记号故在认为记号故在认为记号“A+B”有意义时有意义时有意义时有意义时，，，，即已承认了即已承认了即已承认了即已承认了AA与与与与B是同维的事实是同维的事实是同维的事实是同维的事实.111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa----------=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯定义：(((()))),ija----====.负矩阵负矩阵负矩阵负矩阵的的的的称为矩阵称为矩阵称为矩阵称为矩阵A2、矩阵加法的运算规律(((())));1ABBA++++====++++(((())))(((())))(((()))).2CBACBA++++++++====++++++++(((())))(((()))).3BABAλλλλλλλλλλλλ++++====++++（（（（交换律交换律交换律交换律））））（（（（结合律结合律结合律结合律））））（（（（数乘的分配律数乘的分配律数乘的分配律数乘的分配律））））把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵AA与与与与B之差之差之差之差A–B定义成定义成定义成定义成定义成定义成定义成定义成A+（（（（----B））））..----====------------------------++++====----333101321222654123321222654123把元全为零的矩阵称为把元全为零的矩阵称为把元全为零的矩阵称为把元全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵，，，，记作记作记作记作O则对任意一矩阵则对任意一矩阵则对任意一矩阵则对任意一矩阵A，，，，有有有有A=A+O=O+A以及以及以及以及A–A=A+(–1)A=O若用若用若用若用–A表示表示表示表示A的加法逆的加法逆的加法逆的加法逆，，，，则则则则–A=(–1)A常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算。。。。引例引例引例引例的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换到变量到变量到变量到变量变量变量变量变量21321,,,yyxxx++++++++====++++++++====.,32322212123132121111xaxaxayxaxaxay++++====++++====++++====232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx的线性变换是的线性变换是的线性变换是的线性变换是到到到到，，，，又变量又变量又变量又变量32121,,xxxtt++++++++++++++++++++====++++++++++++++++++++====232232222122113123212211212232132212121113113211211111)()()()(tbababatbababaytbababatbababay要想得到从要想得到从要想得到从要想得到从到到到到的变换的变换的变换的变换,代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得21,tt21,yy三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘333122211211bbbbbb232221131211aaaaaa的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换到变量到变量到变量到变量变量变量变量变量21321,,,yyxxx对应的矩阵是对应的矩阵是对应的矩阵是对应的矩阵是对应的矩阵是对应的矩阵是对应的矩阵是对应的矩阵是的线性变换是的线性变换是的线性变换是的线性变换是到到到到，，，，又变量又变量又变量又变量32121,,xxxtt从从从从到到到到的线性变换对应的矩阵的线性变换对应的矩阵的线性变换对应的矩阵的线性变换对应的矩阵21,tt21,yy++++++++++++++++++++++++++++++++322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa11定义定义（矩阵乘法）（矩阵乘法）设设设设设设设设A=A=[[aaijij]]是是是是是是是是mm××××××××nn矩阵矩阵矩阵矩阵，，，，矩阵矩阵矩阵矩阵，，，，BB=[=[bbijij]]是是是是是是是是nn××××××××ss矩阵矩阵矩阵矩阵，，，，那末规定矩阵那末规定矩阵那末规定矩阵那末规定矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵，，，，那末规定矩阵那末规定矩阵那末规定矩阵那末规定矩阵AA与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵BB的乘积是的乘积是的乘积是的乘积是的乘积是的乘积是的乘积是的乘积是一个一个一个一个一个一个一个一个mm××××××××ss矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵CC=[=[ccijij]],,其中其中其中其中其中其中其中其中∑==nkkjikjibac1（（（（2222----7777））））=∑=nkjkikdefbaAB1亦即亦即亦即亦即亦即亦即亦即亦即并把此乘积记作并把此乘积记作并把此乘积记作并把此乘积记作.msmnnsCAB××××××××××××====3111212122212.....................nnmmmnaaaaaaAaaa=⋯⋯⋯111212122212.....................ssnmnsbbbbbbBbbb=⋯⋯⋯BAC×=.11的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的和和和和的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的乘乘乘乘BAc=112112111111nnbababac+++=⋯21.cAB=的的的的的的的的二二二二的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的乘乘乘乘的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的的和和和和212111222121nncababab=+++⋯.....................AB的的的的i–j元是元是元是元是A的第的第的第的第i行与行与行与行与B的第的第的第的第j列对应列对应列对应列对应位置元的乘积之和位置元的乘积之和位置元的乘积之和位置元的乘积之和（（（（简称为简称为简称为简称为A第第第第i行与行与行与行与B第第第第j列列列列之积之积之积之积），），），），====msmjmisijisjnsnjnsjsjmnmminiincccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaa⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋮⋮⋮⋯111111122211111212111211∑∑∑∑========nkkjikjibac1称为确定矩阵乘积称为确定矩阵乘积称为确定矩阵乘积称为确定矩阵乘积AB元的元的元的元的行乘列法则行乘列法则行乘列法则行乘列法