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1第三节第三节第三节第三节第三节第三节第三节第三节逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵,111========--------aaaa11,AAAAI--------========则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵称为称为称为称为的的的的逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵或或或或逆阵逆阵逆阵逆阵.A1----A逆矩阵概念的引入逆矩阵概念的引入逆矩阵概念的引入逆矩阵概念的引入在数的运算中在数的运算中在数的运算中在数的运算中，，，，当数当数当数当数时时时时，，，，0≠≠≠≠a有有有有aa11====----a其中其中其中其中为为为为的倒数的倒数的倒数的倒数，，，，a（（（（或称或称或称或称的逆的逆的逆的逆）；）；）；）；在矩阵的运算中在矩阵的运算中在矩阵的运算中在矩阵的运算中，，，，单位阵单位阵单位阵单位阵I相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中的的的的1，，，，A那么那么那么那么，，，，对于矩阵对于矩阵对于矩阵对于矩阵，，，，1----A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵,使得使得使得使得一一可逆矩阵可逆矩阵定义定义33对于对于对于对于对于对于对于对于nn阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵AA，，，，如果存在一个如果存在一个如果存在一个如果存在一个，，，，如果存在一个如果存在一个如果存在一个如果存在一个nn阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵BB，，，，使使使使，，，，使使使使AB=BA=IAB=BA=I则称则称则称则称则称则称则称则称AA为为为为为为为为可逆可逆可逆可逆可逆可逆可逆可逆[[矩矩矩矩矩矩矩矩]]阵阵阵阵阵阵阵阵，，，，，，，，并称适合并称适合并称适合并称适合（（（（并称适合并称适合并称适合并称适合（（（（22--1313））））））））（（（（（（（（22--1313））））））））的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵BB称为称为称为称为称为称为称为称为AA的的的的的的的的逆逆逆逆逆逆逆逆[[矩矩矩矩矩矩矩矩]]阵阵阵阵阵阵阵阵;;成立成立成立成立，，，，成立成立成立成立，，，，例例例例设设设设,21212121,1111----====----====BA,IBAAB========∵.的一个逆矩阵的一个逆矩阵的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是是是AB∴∴∴∴定理定理44如果如果如果如果如果如果如果如果AA是是是是是是是是可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵，，，，则其逆阵是唯一的则其逆阵是唯一的则其逆阵是唯一的则其逆阵是唯一的可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵，，，，则其逆阵是唯一的则其逆阵是唯一的则其逆阵是唯一的则其逆阵是唯一的..可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为可逆矩阵也称为非退化非退化非退化非退化非退化非退化非退化非退化[[矩矩矩矩矩矩矩矩]]阵阵阵阵阵阵阵阵，，，，也常被称为也常被称为也常被称为也常被称为，，，，也常被称为也常被称为也常被称为也常被称为非奇非奇非奇非奇非奇非奇非奇非奇异异异异异异异异[[矩矩矩矩矩矩矩矩]]阵阵阵阵阵阵阵阵..若设若设若设若设和和和和是是是是的可逆矩阵的可逆矩阵的可逆矩阵的可逆矩阵，，，，BCA则有则有则有则有,,ICAACIBAAB================可得可得可得可得=BIB(((())))BCA====(((())))ABC====.CCI==所以所以所以所以的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即即即A.BC=证证证证证证证证注注注注：：：：这个证明过程用到了单位阵技巧这个证明过程用到了单位阵技巧这个证明过程用到了单位阵技巧这个证明过程用到了单位阵技巧，，，，这个技巧在许多这个技巧在许多这个技巧在许多这个技巧在许多结论证明中被使用结论证明中被使用结论证明中被使用结论证明中被使用。。。。而称不存在逆阵的方阵为而称不存在逆阵的方阵为而称不存在逆阵的方阵为而称不存在逆阵的方阵为退化退化退化退化[矩矩矩矩]阵阵阵阵或或或或奇异奇异奇异奇异[矩矩矩矩]阵阵阵阵.这样这样这样这样，，，，根据定义可容易地推知根据定义可容易地推知根据定义可容易地推知根据定义可容易地推知，，，，单位阵必为单位阵必为单位阵必为单位阵必为可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵，，，，且其逆阵即为自身且其逆阵即为自身且其逆阵即为自身且其逆阵即为自身II--------11==II..由于可逆矩阵由于可逆矩阵由于可逆矩阵由于可逆矩阵A的逆矩阵是唯一确定的的逆矩阵是唯一确定的的逆矩阵是唯一确定的的逆矩阵是唯一确定的，，，，故可用确定的符号记之为故可用确定的符号记之为故可用确定的符号记之为故可用确定的符号记之为A-1，，，，有有有有AAAA--11==AA--11AA==II..(2-13´´´´)例例试证对角阵试证对角阵试证对角阵试证对角阵是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵，，，，并求出并求出并求出并求出AA--11..=100040002A容易验证容易验证容易验证容易验证，，，，此时有此时有此时有此时有AB=I及及及及BA=I，，，，10021=004001B解解解解设设设设2110021004001A-=所以所以所以所以我们可以用矩阵表示线性代数方程组我们可以用矩阵表示线性代数方程组我们可以用矩阵表示线性代数方程组我们可以用矩阵表示线性代数方程组：：：：=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa⋯⋯⋯22112222212111212111.........................................令令令令111212122212,nnmmmnaaaaaaaaa=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1122,nmxbxbxb⋮⋮xb=,=则线性方程组可表示为则线性方程组可表示为则线性方程组可表示为则线性方程组可表示为Ax=b利用逆矩阵概念利用逆矩阵概念利用逆矩阵概念利用逆矩阵概念，，，，可方便表出线性代数方程可方便表出线性代数方程可方便表出线性代数方程可方便表出线性代数方程组的解组的解组的解组的解.事实上事实上事实上事实上,对对对对n××××n（（（（即即即即n个个个个n元元元元））））线性代线性代线性代线性代数方程组数方程组数方程组数方程组Ax=b当当当当A是可逆矩阵时是可逆矩阵时是可逆矩阵时是可逆矩阵时，，，，可表出其解为可表出其解为可表出其解为可表出其解为x=AA--------11b，，，，这是因为由这是因为由这是因为由这是因为由A为可逆阵为可逆阵为可逆阵为可逆阵，，，，可知可知可知可知AA--11存在存在存在存在，，，，存在存在存在存在，，，，用用用用用用用用AA--------11同时同时同时同时[左左左左]乘方程的两边乘方程的两边乘方程的两边乘方程的两边，，，，AA--11Ax=AA--11b即即即即x=AA--11b可得可得可得可得定理定理定理定理定理定理定理定理55若若若若若若若若AA为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵，，，，则则则则，，，，则则则则AA--------11、、、、、、、、kAkA（（（（（（（（kk为任一非零常数为任一非零常数为任一非零常数为任一非零常数为任一非零常数为任一非零常数为任一非零常数为任一非零常数）、）、）、）、）、）、）、）、AATT皆为可逆阵皆为可逆阵皆为可逆阵皆为可逆阵，，，，皆为可逆阵皆为可逆阵皆为可逆阵皆为可逆阵，，，，((AA--------11))--------11==AA)0.(1)(11≠≠≠≠====--------kAkkA((AATT))--------11=(=(AA--------11))TT..且且且且且且且且可逆矩阵的性质可归纳在以下两个定理中可逆矩阵的性质可归纳在以下两个定理中可逆矩阵的性质可归纳在以下两个定理中可逆矩阵的性质可归纳在以下两个定理中：：：：证证证证这里仅给出对这里仅给出对这里仅给出对这里仅给出对A----1及及及及AT结论的证明结论的证明结论的证明结论的证明.若从若从若从若从A----1的角度看上式的角度看上式的角度看上式的角度看上式，，，，AA----1=A----1A=I则按定义可知则按定义可知则按定义可知则按定义可知A----1为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵，，，，((AA--------11))--------11==AA因因因因A为可逆阵为可逆阵为可逆阵为可逆阵，，，，故存在故存在故存在故存在A----1，，，，使使使使且且且且A即为其逆矩阵即为其逆矩阵即为其逆矩阵即为其逆矩阵，，，，（（（（1））））(AA----1)T=AT(A----1)T=(A----1A)T(I)T=I而得而得而得而得AT(A----1)T=(A----1)TAT=I(A----1)TAT=AT(A----1)T=I且且且且(A----1)T为其逆阵为其逆阵为其逆阵为其逆阵.即即即即((AATT))--------11=(=(AA--------11))TT要证要证要证要证故根据定义故根据定义故根据定义故根据定义可知可知可知可知,矩阵矩阵矩阵矩阵AT为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵，，，，((AATT))--------11=(=(AA--------11))TT..只要证只要证只要证只要证而而而而=(I)T=I(A----1)TAT=（（（（2））））3定理定理66若若若若若若若若AA、、、、、、、、BB为为为为为为为为同阶的可逆矩阵同阶的可逆矩阵同阶的可逆矩阵同阶的可逆矩阵，，，，则则则则同阶的可逆矩阵同阶的可逆矩阵同阶的可逆矩阵同阶的可逆矩阵，，，，则则则则ABAB也是可逆阵也是可逆阵也是可逆阵也是可逆阵，，，，也是可逆阵也是可逆阵也是可逆阵也是可逆阵，，，，((ABAB))--------11==BB--------11AA--------11..（（（（2----14））））且成立且成立且成立且成立且成立且成立且成立且成立(((())))(((())))(((())))1111----------------====ABBAABAB1----====AIA,1IAA========----(((()))).111------------====∴∴∴∴ABAB证证证证()()()-1-1-1-1BAAB=BAAB-1=BIB-1=BB=I,这个定理可推广到对任意有限个矩阵都成立这个定理可推广到对任意有限个矩阵都成立这个定理可推广到对任意有限个矩阵都成立这个定理可推广到对任意有限个矩阵都成立.A1A2…Ak也可逆也可逆也可逆也可逆,推论推论推论推论推论推论推论推论若已知若已知若已知若已知若已知若已知若已知若已知A1,A2,…,Ak为同阶可逆阵为同阶可逆阵为同阶可逆阵为同阶可逆阵，，，，则则则则(A1A2…Ak)-1=Ak-1…A2-1A1-1.(2-14´´´´)且且且且解解考虑将考虑将考虑将考虑将A----1+B----1表作可逆阵之积表作可逆阵之积表作可逆阵之积表作可逆阵之积。。。。利用单位阵技巧有利用单位阵技巧有利用单位阵技巧有利用单位阵技巧有A----1+B----1=A----1I+IB----1=A----1(I+AB----1)=A----1(B+A)B----1=A----1(A+B)B----1例例例例设已知设已知设已知设已知A、、、、B及及及及A+B均为可逆阵均为可逆阵均为可逆阵均为可逆阵，，，，试