典型例题：用放缩法证明不等式

1/4用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证143＜＋＜ab。证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜14（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋14（a＋b）2，即34（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜43，故有1＜a＋b＜43。例2.已知a、b、c不全为零，求证：aabbbbcccacaabc22222232＞（）证明：因为aabbabbababab22222234222（）＞（）≥，同理bbccbc222＞，cacaca222＞。所以aabbbbcccacaabc22222232＞（）二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜abcbaccab。证明：由于a、b、c为正数，所以abcaabc＞，bacbabc＞，cabcabc＞，所以2/4abcbaccabaabcbabccabc＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则abc为真分数，则abcaabc＜2，同理bacbabc＜2，cabcabc＜2，故abcbaccabaabcbabccabc＋＋＜＋＋2222.综合得12＜＋＋＜abcbaccab。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求n2n131211＜…。证明：因为，则11213…＜（）（）…（）＜1122123221212nnnnn，证毕。例5.已知*Nn且)1n(n3221an，求证：2)1(2)1(2nannn对所有正整数n都成立。证明：因为nnnn2)1(，所以2)1n(nn21an，又2)1()1(nnnn，所以2)1n(21n225232)1n(n232221a2n，综合知结论成立。四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数1212)(xxxf，证明：对于*Nn且3n都有1)(nnnf。证明：由题意知3/4)12)(1()12(212211)111()1221(112121)(nnnnnnnnnnnnnnnf，又因为*Nn且3n，所以只须证122nn，又因为1n21n2)1n(nn1CCCCC)11(2nn1nn2n1n0nnn所以1)(nnnf。例7.已知2x1)x(f，求证：当ab时fafbab（）（）。证明：fafbabababababab（）（）11111122222222bababa)ba(bababa证毕。五.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8.已知cba，求证0ac1cb1ba1。证明：因为cba，所以可设tca，)0ut(ucb，所以0ut则0tuutt1u1t1u1ut1ac1cb1ba1，即0ac1cb1ba1。例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有222cba，当*Nn且3n时，求证：nnncba。证明：由于abc222，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为01sina，01cosa，则当n3时，sinsinnaa2，coscosnaa2，所以abcaacaacnnnnnnn(sincos)(sincos)22。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证b1ba1aba1ba。证明：构造函数)0x(x1x)x(f，首先判断其单调性，设21xx0，因为0)x1)(x1(xxx1xx1x)x(f)x(f2121221121，所以21xfxf，所以)x(f在],0[上是增函数，取4/4bax1，bax2，显然满足21xx0，所以|)b||a(|f)ba(f，即|b|1|b||a|1|a||b||a|1|b||b||a|1|a||b||a|1|b||a||ba|1|ba|。证毕。