实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案

第一章习题参考解答1第一章习题参考解答3．等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？解：若)()(CBACBA，则ACBACBAC)()(.即，AC.反过来,假设AC,因为BCB.所以,)(CBABA.故,CBA)()(CBA.最后证，CBACBA)()(事实上，)(CBAx,则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(；若Cx，则Bx，故CBABAx)(.从而,CBACBA)()(.AACBACBAC)()(.即AC.反过来，若AC，则因为BCB所以)(CBABA又因为AC，所以)(CBAC故)()(CBACBA另一方面，AxCBAx)(且CBx，如果Cx则CBAx)(；如果,Cx因为CBx，所以Bx故BAx.则CBAx)(.从而CBACBA)()(于是，)()(CBACBA4．对于集合A，定义A的特征函数为AxAxxA,0,1)(，假设nAAA,,,21是一集列，证明：（i）)(inflim)(inflimxxnnAnnA第一章习题参考解答2（ii）)(suplim)(suplimxxnnAnnA证明：（i）)(inflimnnmNnnnAAx，N0n，0nm时，mAx.所以1)(xmA，所以1)(inf0xmAnm故1)(infsup)(inflimxxmnAnmNbAnNnAxnninflim，有nkAxnnnm有0)(inf0xAxmnkmAnmAk，故0)(infsupxmAnmNb，即)(inflimxnAn=0，从而)(inflim)(inflimxxnnAnnA5．设}{nA为集列，11AB，)1(11iAABjijii证明（i）}{nB互相正交（ii）iniiniBANn11,证明：（i）mnNmn,,；不妨设nm，因为mnininnAAAAB11，又因为mmAB，所以mnmnnBAAAB，故mnBB，从而1}nnB相互正交.（ii）因为)1(nii，有iiAB，所以iniiniAB11，现在来证：iniiniBA11当n=1时，11BA；当1n时，有：iniiniBA11则)()()()()(11111111111inininiinininininiiniBBBAAAAAA事实上，iniAx1，则)1(nii使得iAx，令niAxiii1|min0且则iniiiiiiBBAAx111000，其中，当10i时，iiiA110，从而，iniiniBA116．设)(xf是定义于E上的实函数，a为常数，证明：第一章习题参考解答3（i）})(|{axfxE=}1)({1naxfn(ii)})(|{axfxE=}1)({1naxfn证明：（i）})(|{axfxExEx且axf)(}1)(|{1)(,naxfxExExanaxfNn且使得x})(|{}1)(|{1axfxEnaxfxEn}1)(|{1naxfxEn反过来，NnnaxfxxExn},1)(|{1，使}1)(|{naxfxEx即Exanaxf且1)(故})(|{axfxEx所以})(|{}1)(|{1axfxEnaxfxEn故}1)(|{})(|{1naxfxEaxfxEn7．设)}({xfn是E上的实函数列，具有极限)(xf，证明对任意常数a都有：}1)(|{inflim}1)(|{inflim})(|{11kaxfxEkaxfxEaxfxEnnknnk证明：NkaxfxEx},)(|{，即kaaxf1)(，且Ex因为Nnxfxfnn，)()(lim，使nm，有kaxfn1)(，故，)}(1)(|{nmkaxfxExm所以x}1)(|{kaxfxEmnm}1)(|{kaxfxExmnmNn=}1)(|{inflimkaxfxEmn，由k的任意性：}1)(|{inflim1kaxfxExnnk，反过来，对于}1)(|{inflim1kaxfxExnnk，Nk，有}1)(|{inflimkaxfxExmn=}1)(|{kaxfxEmnmNn，即nmNn，时，有：kaxfm1)(且Ex，所以，kaxfxfmm1)()(lim且Ex.k又令，故Exaxf且)(从第一章习题参考解答4而})(|{axfxEx故})(|{axfxE=}1)(|{inflim1kaxfxEnnk8．设)}({xfn是区间（a，b）上的单调递增的序列，即)()()(21xfxfxfn若)(xfn有极限函数)(xf，证明：Ra，})({})({1axfEaxfEnn证明：})({axfEx，即：Ex且axf)(，因为)()(limxfxfnn所以00,nnNn，恒有：E)(xaxfn且，从而，})({0axfExn})({1axfEnn反过来，NnaxfExnn01},)({，使})({0axfExn，故0nn，因此，axfxfxfnnn)()()(lim0且Ex,即，})({axfEx，从而，})({})({1axfEaxfEnn10．证明：3R中坐标为有理数的点是不可数的。证明：设Q为有理数集，由定理6：Q是不可数的。现在证：zyxzyxQQQ,,|),,{(}都是有理数可数Qx，因为QQ)}({QxQx是可数个有理数集的并，故可数，又因为)}({QQQQxQQx并且QQQQxQx~}{，，所以QQx}{可数故QQQ可数14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数证明：设Q为可数集，不妨记为：},,,,,{321nrrrrQNn,令}},,,,{|{321nnrrrraaA则n为有限集（n2n），则第一章习题参考解答5nNnA为正交可数集，即0nC又因为AQxxQ|}{~，所以AQC0，故0CAA是Q上一切有限子集的全体。15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：nnnnEElimlim证明：因为{,,21EE}两两不相交，所以，mnmENn,，故11)(limnmnmnnnEE另一方面，若)(lim1mnmnnnEE，我们取nnExlim0则knNkk,，使得knEx.特别的，当Nk1时，nExn有,11，当11nk时：211221,ExnnknNn，有（)21nn从而，21nnEEx这与21nnEE矛盾，故nnElim从而nnnnEElimlim16．若集A中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A=}{21xxa，而每个指标ix在一个势为C的集中变化，则集A的势为C。证明：设ix在势为C的集合中变化，即A=121}),,(|{21iixxBxxa因RBRBiiii:,~是既单又满的映射，定义1211),,(;:iiiiBxxxRB,)),(),((),,()(2121xxxxx第一章习题参考解答6故RBii到是1得既单又满的映射,从而，RBAii~~1从而CRA17．设nnA1的势是C，证明至少有一个nA的势也是C。证明：因为nnnAANn1,，所以CAAnnn1如果CANnn,，则CANnn,，即，nA正交可数，从而，nnA1正交可数.这与CAnn1矛盾.故，n,使CAn.18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势C2证明：设]}1,0[|{AA，则C2记[0，1]上全体是函数所构成的集合为对于x，定义函数AxAxxA.0,1)(,即A是集合A的特征函数。]1,0[|AAC2另一方面，f，定义]}1,0[|))(,{(xxfxBf则2RRRBf，}|{2RRBBR，则CR22}|{~fBf2R，所以CR22，从而，C220．证明：nR中孤立点集市有限或可数集证明：Ex中，E是nR的一些孤立点所构成的集合由定义，0x，使得}{),(xExOx.现在令}|)2,({ExxOx，第一章习题参考解答7则中任意二领域是不相交的事实上，若yxEyx,,，有)2,()2,(yxyxO取)2,()2,(yxyxOz，并且不失一般性设：yx，则yyxyzzxyx22),(),(),(.故}{)2,()2,(yyxOxyx，这推出yx，这与yx矛盾.Ex，取一个有限点)2,(xxxOr，则，当，yxrryx,所以}|{~ExrEx，故}|{ExrEx.E正交可数.19．设|{0xEREn，}的内点是Ex称为E的内点集，证明：0E是开集。证明：0Ex，因为x为E的内点，0使得：Exx),(，现在证：0),(Exx事实上，),(xxy，取0|y-x|则Exxyy),(),(，故0Ey，从而，0),(Exx，即0E中每个点都是0E得内点因此，0E为开集21．假设f(x)是[a,b]上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。证明：[a,b]中右极限存在的间断点是至多可数的.令)0()(lim|),[{xfxfbaxSxx有限}，Nn，作：}0|),[{baxEn,时，使得),[),(,baxxxx第一章习题参考解答8则：（1）),{)(1baxfEnn在是上连续点的集合事实上，0,10nnEx，取)1(1nn即因nEx0，故),[),(,,000baxxxx有|)()(|0xfxf即，)(xf在0x点连续。（2）nESNn,，因)()(lim0xfxfxx有限，故0x使得),[),(baxxxx，nxfxf21|)()(|0，故，),,(,xxxxx有nxfxf1|)()(|，从而，nxExx),(.现在证：}|),{(nxESxxxA是两两不相交的开区间集,,2121xxESxxn，不妨设21xx，如果),(),(212211xxxxxx，取),(),(212211xxxxxxx则1121xxxxx即，nxExxx),(2112，这与nESx2矛盾，故A两两不相交，从而nES可数故)(11nnnESS至多可数。即，),[ba中第一类间断点至多可数。