【ILMT】圆锥曲线的对称性在定点问题中的应用

心之所向，素履以往湖南邵阳杨歆琪20180606圆锥曲线的对称性在定点问题中的应用高考解答题中的椭圆、双曲线中心一般都为坐标原点，对称轴即为坐标轴，抛物线以坐标原点为顶点，并且以某条坐标轴为对称轴.在研究定点问题时，有时可利用这一特征，通过对图形对称性的分析来初步判断定点可能的位置，其原理就是动直线（或动圆）经过的定点一定是各种可能的情况下动直线（或动圆）的共同交点，下面将从历年真题中选取几题对此加以说明，为体现重点，题目已经过加工.2007山东卷·理数·第21题题目：已知直线:lykxm与椭圆22:143xyC相交于,AB两点（,AB不是椭圆的左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标.因为直径所对的圆周角为直角，如下图所示,题目可理解为从椭圆22:143xyC的右顶点M引两条垂直的弦,MAMB，证明直线AB过定点，并求出该定点.设直线AB经过定点P，将图中的三角形沿着x轴翻折，因为弦,MAMB也是过右顶点M的两条垂直的弦，因此直线AB也应该经过定点P，即点P是直线AB与直线AB的交点.又因为直线AB和直线AB关于x轴对称，所以它们的交点P必在x轴上，如下图所示：然后将弦,MAMB特殊化，让它们关于x轴对称，此时直线,MAMB的斜率为1，直线,MAMB的方程为2yx，联立221432xyyx，解得点,AB的坐标分别为212212,,,7777AB，此时直线AB的方程为27x，因此定点P必在直线27x上，如下图所示：MBAxOyPA'B'MBAxOy心之所向，素履以往湖南邵阳杨歆琪20180606根据以上分析，我们知道要求的定点其实就是直线27x与x轴的交点，因此直线AB如果经过定点，那么该定点一定是2,07P.2009江西卷·理数·第21题题目：已知双曲线2222:10225xyEbbb与x轴交于,BD两点，在E上任取一点111,0Qxyy，直线,QBQD分别交y轴于,MN两点，求证：以MN为直径的圆过两定点.如下图所示，以MN为直径的圆关于y轴对称，因此该圆过的定点关于y轴成对出现.将图中的Q沿着x轴翻折，则以MN为直径的圆也对应地沿着x轴翻折，这两种情况下的圆关于x轴对称，所以它们的交点在x轴上，故定点也一定在x轴上.再结合上面的分析可知，一定有两个定点，且这两个定点关于y轴对称.如下图所示：再任取一种特殊情况，即可知两个定点分别为125,0,5,0PbPb.MBAxOyNMQEDyOxM'N'Q'NMQEDyOx心之所向，素履以往湖南邵阳杨歆琪201806062010江苏卷·理数·第18题题目：已知椭圆22195xy的左、右顶点为,AB，设过点9,Tm的直线,TATB与椭圆分别交于点11,Mxy，22,Nxy，其中120,0,0myy.求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与无关）.这个题目比较温柔，直接告诉我们定点在x轴上.即使不说，我们也可以利用极限假设法知道定点在x轴上：我们让点9,Tm无限靠近x轴，则M靠近B，N靠近A，直线MN的极限位置就是x轴，所以定点当然在x轴上.题干中的条件“0m”是限制条件，它阻止了我们的对称性思考，然而根据我们做定点问题的经验，当m时直线MN同样过定点，所以“0m”只能阻止胆小的人，阻止不了胆大的人.对称性思考如下图所示：同样可知MN经过的定点一定在x轴上.2012福建卷·理数·第19题题目：已知直线:lykxm与椭圆22:143xyC有且只有一个公共点，且直线l与直线4x相交于点Q.试探究：以PQ为直径的圆是否恒过定点M？我们画出一种情况，再沿着x轴翻折，如下图所示，我们不难知道如果有定点，则定点一定在上.那么上图中的两点都是定点吗？显然不是的，我们可以通过取一种特殊情况来说明：让Q与Q重合于点，则右边的交点跑到了直线4x上，说明它并不固定，只有左边的交点才可能是定点.T'M'N'NMTABOyxP'Q'x=4QPxOyP'x=4QPxOy心之所向，素履以往湖南邵阳杨歆琪20180606然后我们算一种具体情况，如0,3km，此时以PQ为直径的圆的方程为22234xy，它交x轴于点121,0,3,0MM，其中点11,0M即为我们要找的定点.2013陕西卷·理数·第20题题目：已知点1,0B，设不垂直于x轴的直线l与抛物线2:8Cyx交于不同的两点,PQ，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点.如下图所示，过点1,0B作两条关于x轴对称的直线,BQBP，分别与抛物线交于另一点,PQ，则直线PQ和PQ都是符合题意的直线l，因此直线l所经过的定点就是直线PQ与直线PQ的交点，它一定在x轴上.再取一种极限情形，让直线,BQBP都与抛物线相切，此时由切点弦方程可知直线l的方程为1082xy，即1x，结合上述分析，可知定点只能是1,0.2015四川卷·理数·第20题题目：过点0,1P的动直线l与椭圆22:142xyE相交于,AB两点，在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.从下面两个图均可分析出满足条件的定点Q一定在轴上.Q'P'QPBOyxPABB'xOyA'PABxOy心之所向，素履以往湖南邵阳杨歆琪201806062017全国乙卷·理数·第20题题目：已知椭圆22:14xCy和点0,1P，设直线l不经过点P且与椭圆C交于,AB两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为1，证明：直线l过定点.如下图所示，将符合题意的直线AB沿着y轴翻折成直线AB，如果1PAPBkk，则有1PAPBkk，即直线AB不是符合题意的直线l，所以此题中的定点不在轴上.对比与分析对比以上各题，得到下面的表格：卷别（题）示意图对称性分析结果2007山东椭圆关于x轴对称；定点M在x轴上；符合题意的动直线l关于x轴对称地成对出现直线l经过的定点在x轴上2009江西双曲线关于x轴对称；定点,DE在x轴上；符合题意的动圆关于x轴对称地成对出现，且圆本身关于y轴对称动圆经过一对关于y轴对称的定点2010江苏椭圆关于x轴对称；定点,AB在x轴上；动点T的轨迹（即直线9x）关于x轴对称；符合题意的动直线MN关于x轴对称地成对出现动直线MN经过的定点在x轴上B'A'BPAxOyMBAxOyNMQEDyOxNMTABOyx心之所向，素履以往湖南邵阳杨歆琪201806062012福建椭圆关于x轴对称；点Q的轨迹（即直线4x）关于x轴对称；符合题意的动直线PQ关于x轴对称地成对出现以PQ为直径的圆经过的定点在x轴上2013陕西抛物线关于x轴对称；定点B在x轴上；符合题意的动直线PQ关于x轴对称地成对出现直线PQ经过的定点在x轴上2015四川椭圆关于y轴对称；定点P在y轴上；符合题意的动直线AB关于y轴对称地成对出现符合题意的定点Q在y轴上2017全国乙椭圆关于y轴对称；定点P在y轴上；符合题意的动直线AB不关于y轴对称地成对出现直线AB经过的定点不在y轴上由此看来，有些参考答案中类似于“根据椭圆的对称性，定点一定在x轴上”这样的说法是错误的，因为只有椭圆的对称性是推不出结论来的，从2017年全国乙卷的试题可以看出.从前面的例题来看，我们还需要动点的轨迹关于x轴对称，动直线（或动圆）关于x轴成对地出现等条件.在实际解题时，为求严谨，应该参考上述表格中的对称性分析，将理由说明充分.x=4QPxOyQPBOyxBPAxOyBPAxOy