1.6-微积分基本定理

1.定积分的定义定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0；（1）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；oxyππ211sinyx+2.定积分的几何意义（2）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值；（3）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方的面积时，定积分的值为0．oxy11ππ2sinyx-oxy11ππ2sinyx-+得到定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和。3.定积分的性质1212(1)()()()(2)[()()]()()(3)()()()(cb)bbaabbbaaabcbaackfxdxkfxdxkfxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxa为常数dxxx3201练习：计算定积分1.6微积分基本定理()d()()bafxxFbFa如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f（x)，那么S=y（b）-y（a）'baytdtyytayby12inSSSSSii-1i-1i-1ΔS≈vtΔt=ytΔtb-a=ytn''ni-1n→∞i=1S=limvtΔtni-1n→∞i=1=limytΔt'bavtdtaybydttySba'探究微积分基本定理y微积分基本定理：如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f（x)，那么()d()()bafxxFbFa这个结论叫做微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibnizformula).bbaaf(x)dx=F(x)=F(b)-F或记作(a).例1（1）计算下列定积分dxx10dxx102dxx1031、2、3、nxn+1bbaax公式2:dx=|n+1公式：解：1、xx'221）（21021121|212210210）（xdxx解：2、2'331xx）（31031131|3133103102）（xdxx解：3、3'441xx）（41041141|4144104103）（xdxxdxx2124、解:4、2'1xx）（2112|11211212）（）（）（xdxx333221111122xdxxdxdxxx323111|xx122911.33''22112,,xxxx（2）因为变式训练：例1（2）计算下列定积分bbaa1公式1:dx=lnx|x公式：解1、1'lnxx）（2ln1ln2ln|ln21211）（xdxx解2、dxxdxdxx21212121)21(dxx2111、2、dxx21)21(2121|)(ln2|xxdxxdx21211212ln211ln2ln212）（）（π2π2π0π0计算下列定积分:sinxdx,sinxdx,sinxd例2x.'cossin,xx解因为coscos02;22sincos|xdxxcos2cos2;2200sincos|xdxxcos2cos00.00sincos|xdxx变式训练：计算下列定积分0cosxdx00sinx)cosxcosdxsinxsinsin00解：因为（所以被积函数f(x)一个原函数F(x)基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxnsinxcosxsinxcosxxalnxaaxexe1xln||xF＇(x)＝f（x)1202122-12x12.填空：1-3t+2dt=_________12x+dx=____________x33x+2x-1dx=_________4e+1dx=____________1322ln921ee322113xdxx(5)=________设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋201f(t)dt，求f(x)．[解析]∵201f(t)dt是一个常数∴可设f(x)＝x＋c∴01f(t)dt＝01(t＋c)dt＝12t2＋ct10＝12＋c∴c＝201f(t)dt＝1＋2c∴c＝－1∴f(x)＝x－1.3.301141222π.:cos;.xxdxdxx计算下列定积分11222'sincos,xx解因为001222ππcossin|xdxx所以1120022sinsin.212222'',,lnxxxx因为3331111122xxdxdxdxxx3311222|lnxx826232232222.lnlnln202015.()().512xxfxfxdxx设，求212001()()()fxdxfxdxfxdx解120125xdxdx原式=6.xyo1221201|5|xxA．6B．4C．3D．2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值是()[解析]1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1＝a2－1＋lna＝3＋ln2，所以a2－1＝3a＝2，解得a＝2.故应选D.61.微积分基本定理：()d()()bafxxFbFa被积函数f(x)一个原函数F(x)2.基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxnsinxcosxsinxcosxxalnxaaxexe1xln||x