高中数学必修一知识点总结

辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）1高中数学必修一知识点总结辽宁家教协会内部资料禁止翻印姓名：编号：学校：年级：科目：辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）2第一章集合一、集合的概念：我们看到的、听到的、闻到的、触摸到、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象。一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作:Φ通常用大写字母A,B,C,…表示集合；用小写字母a,b,c，…表示元素。(1)集合中元素与集合的关系：属于∈；不属于∉。若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.(2)(2)(2)(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；(3)根据含有元素个数可将集合分为有限集和无限集(4)常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作NNNN；正整数集，记作NNNN****或NNNN++++；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作RRRR辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）3二、集合的表示方法：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1.列举法：把集合中的元素都列举出来，写在大括号内；适用：①有限集，元素不太多；②元素较多，但排列又呈现一定规律。2.描述法：一般地，在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)},这种表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。3.3.3.3.图示法：一般用韦恩图表示。三、集合间的关系1.1.1.1.包含关系：一般地，集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作：A⊆B或B⊇A,读作：“AAAA包含于B”或“B包含A”。如果集合P中存在着不是集合Q的元素，那么集合PPPP不包含于QQQQ，或QQQQ不包含PPPP，分别记作:规定：空集是任意一个集合的子集。辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）4如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：AB或BA读作：“AAAA真包含于BBBB”，或“BBBB真包含AAAA”性质：(1)任意一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A；(2)空集是任意一个集合的子集，即Ф⊆A；(3)若A⊆B，B⊆C,则A⊆C；若AB,BC,则AC；(4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；注：子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.2.2.2.2.集合相等：一般地,集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合AAAA等于集合BBBB,记作：A=B注解：构成两个集合的元素完全一样。若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；3.3.3.3.集合关系与特征性质间的关系。一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A⊆B,则x∈A⇒x∈B,于是x具有性质p(x)⇒x具有性质q(x)，即p(x)⇒q(x)则A一定是B的子集。如果p(x)⇔q(x)则A=B；反之如果A=B则p(x)⇔q(x)。辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）5四、集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn图及补集思想的应用。1.1.1.1.交集一般地，对于两个给定的集合A,B由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集。记作A∩B，读作“A交B”l∩⊙O={A,B};A∩B可用图中阴影部分表示意义：A∩B={x|x∈A且x∈B}运算性质：①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩Φ＝Φ；④如果A⊆B，则A∩B＝A；⑤A∩B⊆A，A∩B⊆B；2.2.2.2.并集一般地，对于两个给定的集合A,B由两个集合所有的元素构成的集合，叫做A与B的并集。记作A∪B。读作“A并B”。意义：A∪B={x|x∈A或x∈B}运算性质:①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A；③A∪Φ＝A；④A∪B＝B⇔A⊆B.⑤A∪B⊇A，A∪B⊇B；辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）63.3.3.3.补集：在研究集合与集合间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示。如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作：CUA意义：A∪B={x|x∈U或x∉A}注意：全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.集合AAAA与其补集的区别与联系::::两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集.交集、并集、补集的关系：①A∩CUA＝Φ；A∪CUA＝A；②CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)；CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)．辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）7第二章函数第一部分、函数的基本概念1.1.1.1.映射::::设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f：A→B.(包括集合A,B及A到B的对应法则)注:(1)对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）(2)集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）(满射即集合B中的每一个元素都有原象。)对映射概念的认识(1)f:A→B与f:B→A是不同的,即A与B上有序的.或者说：映射是有方向的.(2)集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.(3)集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.即：((((iiii))))不允许集合A中有空余元素；(ii)(ii)(ii)(ii)允许集合B中有剩留元素；(iii)(iii)(iii)(iii)允许多对一，不允许一对多.2.函数：设A、B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x),x∈A(1)函数的定义域、值域：在函数y=f(x),x∈A中，xxxx叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的yyyy值叫做函数值,函数值{f(x)|x∈A}的集合B叫做函数的值域.注意:(i)函数符号y=f(x)与f(x)的含义是一样的;都表示y是x的函数,其中辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）8x是自变量,f(x)是函数值,连接的纽带是法则f。f是单值对应。(ii)定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。注:两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。如函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数。因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系(4)函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。(5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。(6)复合函数:设y=f(u)，,u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(compositefunction),其中x称为自变量,u为中间变量，y为因变量(即函数)。如：设f(x)=2x−3，g(x)=x2+2则称f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。f[g(x)]=2(x2+2)−3=2x2+1;g[f(x)]=(2x−3)2+2=4x2−12x+11辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）9第二部分、函数的基本性质一、函数定义域的求法：�分式中的分母不为零；�偶次方根下的数（或式）大于或等于零；�指数式的底数大于零且不等于一；�对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。�正切函数ytan,(,,)2xxRkZππ=∈≠∈且xk+�余切函数ycot,(,,)xxRkZπ=∈≠∈且xk�反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是,22ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctanx的定义域是R，值域是,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，函数y＝arccotx的定义域是R，值域是(0,π).二、函数值域求法：1.直接观察法:对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。2222....配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3333....换元法（无理函数，部分三角函数；形如2(+b(+yafxfxc=））的函数）4444....分离常数法5555....变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。）6666....判别式法（()2111122222,0axbxcyaaaxbxc+−=++形如不同时为分式函数）7777....函数的单调性法：a.形如,yaxbcxd=+++若ac0用单调性法，ac0用换元法；b.形如)0(+=kxkxy，若kxx与不能相等，用单调性法，kxx与能相等，用不等式法（特别关注)0(+=kxkxy的图象及性质）8888....导数法（高次函数）9....不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(+=kxkxy型函数，当kxx与不能相等时必须用函数单调性）10101010....数形结合法辽宁家教协会咨询电话：[phone]辽宁高考数学命题教研组：13591657580（姚老师）10三、函数单调性1111....定义：(1)(1)(1)(