第十一讲函数的周期性与对称性

一、函数的周期性若存在常数T≠0,使对任意x∈D都有f（x+T）＝f（x）,则称函数y=f(x)为周期函数，常数T叫做该函数的一个周期。周期性的几个结论（1）若f(x+a)＝f(x+b)(a≠b）,则f(x)是周期函数,︱b－a︱是它的一个周期；（2）若f(x+a)＝－f(x)（a≠0），则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；（3）若f(x+a)＝(a≠0，且f（x）≠0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期.1fx二、函数图像的变换1、图像的平移：把函数y＝f（x）的图像沿着轴向左(向右)平移a个单位就得到函数y＝f（x+a）(a0)的图像把函数y＝f（x）的图像沿着向上(向下)平移a个单位就得到函数y＝f（x）+a的图像),(ba)(xfy若，则函数的图象关于点对称bxafxaf2)()(2bax，0x)()(xfxf偶函数：)(xfy函数的图象关于直线对称)()(xbfxaf若则函数)(xfy的图象关于直线对称，0)()(xfxf对称)(xfy奇函数:图象关于点函数的0,0若应用——形：通过点的特征判定()()2axaxa2、函数图像的对称与翻转：（1）若f（x+a）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称，（2）若f（a+x）＝f（a－x），函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；（3）若有f（a+x）＝－f（b－x），则函数f(x)的图象关于点（，0）中心对称，（4）若f（a+x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.2ab2ab(5)函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的图像关于ｘ轴对称(6)函数y＝－f（－x）与函数y＝f（x）的图像关于原点对称(7)把函数y＝f（x）的图像在x轴下方的图像沿着x轴翻到x轴上方，x轴上方的图像不变，就得到的函数y＝︱f（x）︱的图像(8)把函数y＝f（x）的图像在y轴左侧的图像去掉，y右侧的图像沿着y轴对称翻折到y轴左侧、y轴右侧的图像不变方的图像不变，就得到的函数y＝f(︱x︱)的图像若f（x）的图象有两条对称轴x＝a和x＝b（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱是它的一个周期；若f（x）图象有两个对称中心（a，0）和（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且2︱b－a︱为它的一个周期；若f（x）的图象有一对称轴x＝a和一个对称中心（b，0）（a≠b），则f（x）必为周期函数，且4︱b－a︱是它的一个周期.【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中:①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.其中正确的命题序号是.【解析】①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t)与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.【例2】f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是()A．2B．3C．4D．5【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.【例3】已知函数f（x）的定义域为{x︱x∈Rx≠1}，f（x+1）为奇函数，当x＜1时，f（x）＝2x2－x+1，则当x＞1时，f（x）的递减区间是（）A．［，+∞）B．（1，］C．［，+∞）D．（1，］54547474【解析】由f（x+1）为奇函数得f（－x+1）＝－f（x+1），∴f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出f（x）在（－∞，1）上的图象，再根据中心对称画出f（x）在（1，+∞）上的图象，由图象易知，f（x）在［，+∞）上单调递减，故应选C.74例4对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.【解】（1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.y＝f（x）(2)由f（4－x）＝f（14－x）f（x）＝f（x+10），从而知y＝f（x）的周期是10.f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，2005］上有402个解，在上［－2005，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则———,f(17.5)=———。)(xfy)()2(xfxf10x12)(xxf）5.15(f练习例1：已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(-x+3)=f(x)，且f(1)=-1，则f(5)+f(14)=__________.已知是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，则时=———。(A)(B)(C)(D))(xf2,2x)(xf1)(2xxf2,6x2x12x1)2(2x1)2(2x1)4(2x例2函数的对称性与周期性问题一：对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)则y=f(x)的图象（）关于直线x=0对称B.关于直线x=1对称C关于直线x=-1对称D以上都不对函数的对称性与周期性问题一：对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)则y=f(x)的图象（）关于直线x=0对称B.关于直线x=1对称C关于直线x=-1对称D以上都不对解法一：（图象法）轴对称特征：如果一个函数有对称轴且存在两个不同自变量的对应函数值相等，则对称轴一定在两个自变量的中点位置上。由f(x-1)=f(1-x)对称轴为函数的图象关于直线x=0对称02)1()1(Xxx问题二：对函数y=f(x)在同一坐标系下，函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象（）A.关于直线x=0对称B.关于直线x=1对称C.关于直线x=-1对称D.以上都不对问题二：对函数y=f(x)在同一坐标系下，函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象（）A.关于直线x=0对称B.关于直线x=1对称C.关于直线x=-1对称D.以上都不对分析：用特例法或图象法易求对称轴为x=1题型2：对函数y=f(x)在同一坐标系下，求函数y=f(x-a)与y=f(b-x)(a,bR)的对称轴解法：a=b时换元解法二（特例法）由f(1-x)=f(x-1)令x=0有f(-1)=f(1)则函数的对称轴为02)1(1x课上练习1，已知函数f(x)图象如图所示，则f(x)=()A,B,x2-2|x|+1C,|x2-1|D,1||22xx122xx答案A2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象，说明它关于哪个点对称（不必证明），并指出函数的最值。3、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图象关于原点及x=1对称。⑴求f(0);⑵若0≤x≤1时，f(x)=x,求x∈[-1,3]时，f(x)的解析式1、关于直线x=a的对称特征X=aa+xa-x⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+∞）上单调增，则f(x)在（-∞，5）上的单调性如何？由此你得到什么结论？单调减关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y)在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称2、关于直线y=b对称⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x)结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立3、关于点(a,0)对称练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式答案：y=-f(2a-x)结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0已知对于任意x、y∈R，都有4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)恒成立，且f(1)=1/4，求f(2010)的值是多少？函数周期性解题的一道经典试题试题说明：本题是一道2010年重庆理科数学高考的一道填空试题(分值5分)，十分压轴题，属于拔高题和拉分题，要想在短时间内得到正确的答案，这务必要求学生平时对“函数的周期性”的具体应用要有所熟练！试题分析：面对抽象函数的题型，喜欢钻研的同学一定会有似曾相似的感觉，但在没有给出具体函数f(x)的解析式的前提下，就要我们求f(2010)的值，这道试题确实有点偏难。那怎么办呢？自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？此题的玄机和突破口究竟在何处？我们不妨先从特殊值x=0入手，令x=y=0，代入函数关系式，我们不难得到f(0)=0或f(0)=1/2两种情况。那么到底取哪一种呢？不妨在令x=y=1代入函数关系式，得到：1/4=f(2)+f(0)；令x=2，y=0代入函数关系式，显然f(0)不能等于0，由此得出：f(0)=1/2。但自变量x=1如何与x=2010联系起来呢？在已知f(1)的情况下，要想求出f(2010)的值，数学能力较强的学生一般很容易想到起f(x)的“函数的周期性”，因此能否求出函数f(x)的周期性，是解答本题的关键所在。那么如何通过已知的函数关系式，求出函数的周期呢？这是本题中的另一个困难所在，我们知道，周期函数的一般表达式一般是：f(x+T)=f(x)或f(x)=f(x+T)，要想由“4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)”得到或变成“f(x)=f(x+T)”，我们唯一的办法就是通过对x、y进行特殊的赋值和恒等变形，并且要经过不断的尝试。第一步、求出f(0)的函数值：令x=y=0，则4f(0)f(0)=f(0+0)+f(0-0)，则f(0)=0或f(0)=1/2∵令x=y=1，且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)∴f(2)=1/4-f(0)∵令x=2，y=0且4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)∴4f(2)f(0)=f(2)+f(2)∵f(2)=1/4-f(0)，4f(2)f(0)=f(2)+f(2)且f(0)=0或f(0)=1/2