平面解析几何知识点归纳

细节决定成败，规范铸就辉煌。第1页共8页平面解析几何知识点归纳◆知识点归纳直线与方程1.直线的倾斜角规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角的取值范围为),0[2.斜率：)2(tanak，Rk斜率公式：经过两点),(111yxP，),(222yxP)(21xx的直线的斜率公式为121221xxyykPP3.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式bkxyk是斜率b是纵截距与x轴不垂直的直线点斜式)(00xxkyy),(00yx是直线上的已知点两点式121121xxxxyyyy),(2121yyxx),(),,(2211yxyx是直线上的两个已知点与两坐标轴均不垂直的直线截距式1byaxa是直线的横截距b是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式0CByAx)0(22BA当0B时，直线的横截距为AC当0B时，BCACBA,,分别为直线的斜率、横截距，纵截距所有直线能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log)(2xxf且0cba，则ccfbbfaaf)(,)(,)(的大小关系细节决定成败，规范铸就辉煌。第2页共8页例2.已知实数yx,满足)11(222xxxy，试求23xy的最大值和最小值两直线位置关系两条直线的位置关系位置关系222111::bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk，且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0)重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA直线间的夹角：①若为1l到2l的角，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；②若为1l和2l的夹角，则12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；③当0121kk或02121BBAA时，o90；直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(细节决定成败，规范铸就辉煌。第3页共8页或)2(；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111yxPyxP则)()(121221yyxxPP2.点到直线距离公式点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd4.直线系方程:若两条直线1l：0111CyBxA，2l：0222CyBxA有交点，则过1l与2l交点的直线系方程为)(111CyBxA＋0)(222CyBxA或)(222CyBxA+0)(111CyBxA(λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211yxByxA，则BA,中点),(yxH的坐标公式为222121yyyxxx点),(00yxP关于),(baA的对称点为)2,2(00ybxaQ，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2.轴对称：点),(baP关于直线)0(0BcByAx的对称点为),('nmP，则有0221)(a-mb-nCnbBmaABA，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。（1）中心对称：①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC的对称点)2,2(bdac细节决定成败，规范铸就辉煌。第4页共8页②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//ll由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。②直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）Ⅰ、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la//，则lb//，且ba,与l的距离相等。Ⅱ、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。Ⅲ、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点'P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。能力提升例1.点)1,2(P到直线)(03Rmymx的最大距离为例2.已知点)1,3(A，在直线xy和0y上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出周长。线性规划问题：（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，①若点P在直线l上，则000CByAx；②若点P在直线l的上方，则0)(00CByAxB；③若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，细节决定成败，规范铸就辉煌。第5页共8页①当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；②当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：①当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；②当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为；（1）设点),(00yxP和直线0:CByAxl，①若点P在直线l上，则000CByAx；②若点P在直线l的上方，则0)(00CByAxB；③若点P在直线l的下方，则0)(00CByAxB；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx，①当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；②当0B时，则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域；xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)细节决定成败，规范铸就辉煌。第6页共8页0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：①当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越大；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越小；②当0B时，将直线0ByAx向上平移，则ByAxz的值越来越小；直线0ByAx向下平移，则ByAxz的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个，则a为；圆与方程2.1圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax2.3圆的一般方程：022FEyDxyx.xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)细节决定成败，规范铸就辉煌。第7页共8页当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(22BACBbAad（1）rd相离0；(2)rd相切0；（3）rd相交02.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd；（2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr；（4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.细节决定成败，规范铸就辉煌。第8页共8页若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.3.圆的弦长问题：1.半弦2L、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL2、弦长公式（设而不求）：]4)[(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（