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广义相对论简介授课教师：范忠辉云南大学物理科学技术学院第七章黑洞¾7.1引言¾7.2奇点和伪奇点¾7.3黑洞及其视界¾7.4克鲁斯卡坐标¾7.5Einstein场方程的一般解¾7.6旋转黑洞的视界和奇点¾7.7黑洞热力学Hawking过程¾7.8引力坍缩和黑洞的形成2010-4-142广义相对论_黑洞7.1引言2010-4-14广义相对论_黑洞3无量纲量可以看作是引力场强度的一个量度。这个量成为光线偏移、光的延迟、引力红移、近日点进动等公式的一部分。太阳系中相对论引力效应很小，就是与这个量很小有关，即使在太阳表面，因此，大的相对论效应是在极端致密的天体附近的引力场中发现的，在那里的值可以达到１的量级。例如，在这样一个致密天体附近，在半径处，Schwarzschild场中的光线偏折变得如此之大，使得光信号在一个围绕中心天体的闭合轨道上运行。当时，相对论效应变得异常强大。在这一半径处，引力场强到使得没有任何东西能够摆脱引力场的控制而逃逸，甚至光。下面基于Newton引力理论的一个简单计算给出，存在一个对于光的“不可逃逸”半径。在半径ｒ处，一个向外发射的粒子的逃逸速度是。因为这个表示式与粒子的质量无关，我们可以希望它也适用于光的情况。于是得到的半径。马赫和拉普拉斯很早就得到了这个结果：他们推测，一颗质量足够大、足够致密的恒星，可能看上去是暗的和黑的。2010-4-14广义相对论_黑洞4碰巧地很，Newton理论的结果与仔细的相对论计算结果严格一致。虽然这一简单计算给出了正确的“不可逃逸”半径的值，但它给出的物理图像却是错的。在“不可逃逸”半径处或在其以内发射的光子，并不是首先上升、然后停止、然后下落回去。更确切地说，它们是立即下落，决不会开始于向外部方向运动。对于粒子这也是对的，甚至对于有推力的粒子（宇宙飞船）也是如此。如果光不能逃逸，就没有粒子能够逃逸，因为任何粒子的速度必须小于光速。一个（有限的）空间区域，信号可以进入但没有信号可以发出，这一区域就称为黑洞。7.2奇点和伪奇点2010-4-14广义相对论_黑洞5对于一个球对称的静态引力场，我们发现其时空几何是Schwarzshild几何，其时空间隔是根据观察，我们看到当时，这一时空间隔出现一个“奇点”。在这一半径处，且在cgs单位制中，临界半径为这称为Schwarzshild半径，或者质量M的引力半径。（7.2.4）（7.2.2）（7.2.3）（7.2.1）2010-4-14广义相对论_黑洞6对于一个ｇ的质量，这一半径为如果一个天体的实际半径大于，则我们不需要考虑奇点（7.2.2）式和（7.2.3）式。因为解（7.2.1）只适用于该天体的外部区域。如果一个的天体具有小于的半径，它必然具有的密度，这一密度甚至比中子星的密度还要大。注意，天体的大小小于Schwarzschild半径时，其相应的临界密度随质量的增大而减小。为讨论Schwarzschild解的普遍特征，假设天体已经完全坍缩，因而在所有的点，质量密度都为零（点除外）。这表明，可以把Schwarzschild解当作Einstein方程的一个严格的真空解来处理。对应的曲面称为无限红移面。一只邻近的静止钟，其固有时为当时它趋于零；即，比起另一只位于无限远处的钟，这只钟走得无限慢。这样，如果一个静止于接近处的宇航员向外发送光脉冲或是信号火箭，其相继脉冲之间的时间间隔为1s（在他的钟看来），则远距离处的观测者将以远大于1s的时间间隔接收到这些脉冲。（7.2.5）2010-4-14广义相对论_黑洞7对于一只位于处的静止钟，式（7.2.5）给出一个无限大的时间膨胀。事实上，钟不可能在这个面上保持静止。为零是光信号世界线的特征，因此只有向外部方向发射的光子，才有可能在处保持静止。无限红移面有时也称为静态极限，因为物质粒子不能在其上保持静止。处的Schwarzschild“奇点”不是一个物理的奇点。式（7.2.2）和式（7.2.3）中的奇点是“伪奇点”，它的出现是由于不适当的坐标选择，并且可以经过坐标变换而消失。一个向着表明下落并且穿越这一表明的宇航员，将不会感到有任何异常情况发生。在他的邻近的区域，物理学与自由落体参考系中的一模一样。当然，将会有潮汐力出现，越接近中心，潮汐力越强。然而，在处潮汐力保持为有限；只有在处，潮汐力变得无穷大，表明一个真实的物理奇点的存在。在局域测地坐标（局部惯性系）中计算黎曼曲率张量，在处的所有分量都是有限的。考虑分量（见5.2.4式）：（7.2.6）2010-4-14广义相对论_黑洞8当时，这个函数是奇异的。但是，这个奇点是一个伪奇点。令为赤道平面上的一个给定点，并在这一点引入测地坐标，其相应的变换为这些方程中的省略号代表二次项。黎曼张量的变换规律不取决于二次项。在处的变换系数为所有其他的系数均为零。（7.2.7）（7.2.8）2010-4-14广义相对论_黑洞9练习：证明这一坐标变换把史瓦西度规（在点处）变为，并因而消除了度规中的奇点。如果恰好与重合，式（7.2.7）给出的坐标变换就是奇异的。史瓦西解的奇点的消除，取决于使用一个奇异坐标变换。在变糟的坐标是史瓦西坐标，即是坐标t和r。测地坐标可以在物理上解释为附属于一个自由下落的参考系。对于黎曼张量的变换，我们得到上式表明在坐标中，黎曼张量的分量是没有奇点的。容易验证，黎曼张量的所有其他分量也是没有奇点的。然而，当，式（7.2.9）是发散的，因此这是一个真实的奇点。（7.2.9）7.3黑洞及其视界2010-4-14广义相对论_黑洞10虽然的区域没有异常的局域性质，但它确有某些特别的整体性质。区域是一个黑洞（blackhole,即BH）。即，没有任何类型的信号可以从区域发出而达到的区域。曲面（看作是时空中的一个曲面）是这样一些时空点之间的边界，其中一些时空点将在某个时间变为可见，而另一些时空点外部观测者永远观察不到。黑洞的这一边界称为事件视界。曲面的作用就像一个“单向膜”，信号可以穿越它进去，但不能跑出来。虽然在史瓦西解的情况下无限红移面和视界恰好重合，但还存在Einstein方程的其他解，其中这两个面是不相同的（例如，Kerr解）。为理解信号如何在史瓦西视界处被截断，考虑一个沿径向传播的光信号。按照式（7.2.1）并取，该光信号的速度对于t、r坐标是当这个信号接近时，这一坐标速度趋于零。（7.3.1）2010-4-14广义相对论_黑洞112010-4-14广义相对论_黑洞12该图表示不同的r值时，由式（7.3.1）给出的前向光锥。在BH的外部，光锥的轴平行于t轴。在BH的内部，光锥的轴平行于r轴。光锥在内部区域的奇怪取向，是坐标在这一区域的特征颠倒的一个简单结果：此处r是类时坐标，而t是类空坐标。任何信号在时空中的传播方向必定位于光锥之内。光锥在黑洞区域的取向是朝向，这一区域内的信号都不可避免地被拉向r值减小的方向。2010-4-14广义相对论_黑洞13注意，在视界处，光锥与面（图中的虚线）相切；这意味着在时空中看来，视界是一个零曲面。这是事件视界的一个普遍性质。一个严格地从视界出发、并向外发射的光信号，正好夹在两种信号之间：一种刚好处在视界的外部（向外逃逸），另一种刚好处在视界的内部（向内下落）；因此，该光信号既不向外传播也不向内传播－－它永远在原地徘徊，因而表明它的徘徊之处是一个零曲面。虽然信号不能从BH中跑出来，但它们可以自由地进入BH。图中的曲线是一个向内行进的光信号的世界线。这一曲线由积分式（7.3.1）而得到。信号沿着世界线AB一直到，然后沿着世界线BC到达。用t，r坐标来衡量，当时信号的速度趋近于零，并且信号要经过一个无限长的时间t才到达。一个无穷远处观测者的钟给出的时间是t，因此在他看来，该光信号永远到达不了视界。由此，我们可以得到一个结论：如果由于某种天体物理过程，一颗球状恒星的半径被压缩到小于史瓦西半径，则必定会发生引力坍缩。在下落的宇航员的静止参考系中，进入BH并与的奇点碰撞所需的时间不仅是有限的，而且相当短促。对于一条典型的世界线，与之间的固有时是量级。这意味着，一旦宇航员跨过一个质量的BH的视界，他的生存时间大约只有ｓ。2010-4-14广义相对论_黑洞14虽然史瓦西坐标因在ｔ时间、在有一个奇点而变得不方便，但这不影响对于落入BH和到达奇点所需的固有时的计算。式（6.1.11）给出一个自由下落的宇航员的。对于径向运动，有，因此（6.1.11）式变为积分上式，得到（6.1.11）（7.3.2）练习：完成积分并得到式（7.3.2）。2010-4-14广义相对论_黑洞15对于ｒ的一个有限变化，相应的固有时的变化也是有限的。例如，假设宇航员开始时在半径处静止；这一半径比大因而在黑洞之外。于是，他全程只需要用去固有时就自由下落到。如果初始值接近，则并且，其量级为。虽然事件视界表示时空的物理的、与坐标无关的性质，但利用特殊而巧妙地选择的坐标，常常更容易了解视界的存在与否。（7.3.3）2010-4-14广义相对论_黑洞162010-4-14广义相对论_黑洞177.4克鲁斯卡（Kruskal）坐标2010-4-14广义相对论_黑洞18为消除史瓦西坐标ｔ、ｒ在的奇异性，非常方便的坐标是Kruskal坐标，也称为Kruskal-Szekeres坐标。坐标定义如下：当时，当时，逆变换（隐式）是：当时，（7.4.1）（7.4.2）（7.4.3）（7.4.4）（7.4.5）（7.4.6）2010-4-14广义相对论_黑洞19当时，坐标ｖ是类时的而ｕ是类空的。练习：证明式（7.4.1）～（7.4.4）与式（7.4.5）～（7.4.8）一致。在Kruskal坐标中，时空间隔取为新的形式其中ｒ被看作是ｖ和ｕ的函数。新的度规在处没有奇点。当然，处的奇点依然存在。练习：推导式（7.4.9）。下面，把和方向的位移暂且放在一边，仅仅考虑时空几何在径向和时间上的关系。（7.4.7）（7.4.8）（7.4.9）2010-4-14广义相对论_黑洞20双曲函数tanhx=sinhx/coshx；cothx=1/tanhxsechx=1/coshx；cschx=1/sinhxsinh是双曲正弦、cosh是双曲余弦、tanh是双曲正切、coth是双曲余切、sech是双曲正割、csch是双曲余割。反双曲函数2010-4-14广义相对论_黑洞212010-4-14广义相对论_黑洞22上图表示ｖ、ｕ坐标及其对应的ｒ、ｔ坐标值。在这个图中，ｒ和ｔ以为单位来测量。图中显然可以看出，由ｖ、ｕ到ｒ、ｔ的变换在是一个奇点。这样，线被映射为点，。因此，坐标变换的奇异性正好消除了史瓦西伪奇点。Kruskal坐标的良好性质之一是，径向光信号（即的光信号）的世界线，是相对于ｕ轴和ｖ轴成45度的直线，正如平直时空中光信号的世界线一样。练习：证明这样一个光信号的世界线必然有。其他自由下落粒子的世界线不是直线。例如，图中的虚线表示一个粒子落入BH的一条典型的世界线。曲面把时空分割为两部分：BH（区域II）和它周围的渐进平直空间（区域I）。由时空图可直接看出，在存在一个事件视界：宇航员穿越后发射一个光信号，将在时空图中沿45度方向前进，并最终与相交。该光信号总是朝着ｒ值减小的方向运动，它永远不会到达。光信号之外的其他信号必须位于前向光锥之内，它们更无法逃逸。2010-4-14广义相对论_黑洞23注意，图8.4中r=0的奇点不是一个点状的奇点，而是一个类空曲面。在u、v坐标中，奇点在不同时间发生在不同的空间点。当奇点发生在点u时，其时间v是图8.4中，直线u=-v以下的时空图是空白的。一个从BH外部（区域I）开始探险的宇航员，他能够探索的的区域仅仅是u-v。区域u-v必然在他的光锥之外。但是，如果由某个人或某个物体在后面这一区域发出信号，并穿过直线u=-v到达位于u-v的宇航员的话，这一区域仍然可以具有物理意义。由Kruskal度规，直线u=-v并不是奇异的，测地线可以穿越它而不会有任何问题。因此，这表明图8.4的图示是不完备的。下面的图8.5给出更完整的图示。图8.5所示的时空是最大时空。