广义逆矩阵及其应用

第七章广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组bAx=（0—1）当A是ｎ阶方阵，且时，则方程组（０－１）的解存在、唯一，并可写成0det≠A（0—2）bAx1−=但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的nm×矩阵（一般nm≠），显然不存在通常的逆矩阵，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（0—2）的紧凑形式？即1−AGbx=（0—3）1920年摩尔（E.H.Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。§1矩阵的几种广义逆1．1广义逆矩阵的基本概念1955年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵，如果存在复矩阵，满足mxnAnxmAAAXA=（1—1）XXAX=（1—2）AXAXH=)(（1—3）XAXAH=)(（1—4）则称X为A的一个Moore—Penrose广义逆，并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程，简称M—P方程。由于M—P的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。定义1—1设，若有某个，满足M—P方程（1—1）～（1—4）中的全部或其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。mxnCA∈mxnCX∈例如有某个X，只要满足式（1—1），则X为A的{1}广义逆，记为}1{AX∈；如果另一个Y满足式（1—1）、（1—2），则Y为A的{1，2}广义逆，记为Y}2,1{A∈；如果，则X同时满足四个方程，它就是Moore—Penrose广义逆，等等。总之，按照定义1—1可推得，满足1个、2个、3个、4个Moore—Penrose方程的广义逆矩阵共有种，但应用较多的是以下五种}4,3,2,1{15=AX∈4434+CC2414+CC+}4,3,2,1{},4,1{},3,1{},2,1{},1{AAAAA以后将会看到，只有是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下；}4,3,2,1{A1．：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或g逆，记为A}1{A—；2．A{1，2}：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为Ar；3．A{1，3}：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为Am；4．A{1，4}：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为Ai；5．A{1，2，3，4}：唯一，称作加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A+。为叙述简单起见，下面我们以Rn及实矩阵为例进行讨论，对于Cn及复的矩阵也有相应结果。1．2减号逆A–定义1—2设有实矩阵A（m≤n，当m＞n时，可讨论Anm×T）。若有一个实矩阵（记为Amn×–）存在，使下式成立，则称A–为A的减号逆或g逆：AA–A=A（1—5）当A–1存在时，显然A–1满足上式，可见减号逆A–是普通逆矩阵A–1的推广；另外，由AA–A=A得（AA–A）T=AT即AT（A–）TAT=AT可见，当A–为A的一个减号逆时，（A–）T就是AT的一个减号逆。例1—1设，易知===100001,010001,010101CBAABA=B，ACA=A故B与C均为A的减号逆。例1—2若则，其中*是任意的实数。nmrIA×=000mnrIA×−=***证因为对任意的，都有mnrI×***=nmrI×000mnrI×***nmrI×000nmrI×000所以mnrIA×=***反之，任意的，若满足mnXXXXX×=4321000rI4321XXXX000rI=000rI必须有，即X为的形状证毕rIX=1***rI例1—2表明，标准形的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*位置，就是一个减号逆，填不同数，就得到不同减号逆。000rI下面我们讨论当A为非零矩阵时，如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆，即讨论A的存在性。引理设Bm×n=Pm×mAm×nQn×n，其中P，Q都是满秩方阵，如果已知B的减号逆为B－，则矩阵A的减号逆A=QB－P（1—6）证因为已知B－是B的减号逆，所以有BB－B=B（PAQ）B－（PAQ）=PAQ由于P与Q非奇异，故有A（QB－P）A=A从而有A－=QB－P证毕这个引理说明，两个等价的矩阵A，B（即满足B=PAQ），如果其中一个的减号逆可求出来，那么，另一个的减号逆也可以求出来。定理1—1（存在性）任给阶矩阵A，那么减号逆Anm×－一定存在，但不唯一。证分两种情况，如果rankA=0即，A=0m×n，这时对任意的mxnRX∈，都有0X0=0，所以任意阶矩阵X都是零矩阵的减号逆。mn×再设rankA=r＞0，那么存在m阶满秩矩阵P与n阶满秩矩阵Q，使得nmrRBIPAQ×∈==000由例1—2知，存在*为任意实数,***=−rIB再由引理知，存在PIQAr=−***只要A非满秩，由于*的任意性，所以A－非唯一。证毕.例1—3设，求A−=322211A－.解为要将A通过初等行与列变换,化为一个等价的标准形,我们在A的右边放上一个I2,在A的下方放上一个I3,当A变成Ir时,则I2就变成P,而I3就变成Q.−−−−→−−−−→−−−−→→−−→→−=−++++−+4121007231001001001412100723100100100114201027310100010011000102111014201001100010001103220121123231312113)1(224)2(32rCCCCCCCCCCIIA这就是说[]−−−=−====−−−−412100723,1001001000141210072310012QPBIPAQA但标准形B的减号逆为,*为任意实数=**1001B故得为任意实数,***1001PQA=设有mxnRA∈，下面的定理给出了rankA－与rankA之间的关系。定理1—2rankA－≥rank（AA－）≥rankA证因为AA－A=A，即（AA－）A=A，所以有rank（AA－）≥rankA又因为rankA－≥rank（AA－），故rankA－≥rank（AA－）≥rankA证毕这个定理说明，A－的秩总不会小于A的秩，这从例1—2也可看出。1．3自反广义逆−rA众所周知，对于普通的逆矩阵，有，但这一事实对于减号逆A一般不成立。例如，由例1—1知1−AAA=−−11)(==−010001,010101AA但−−−≠=AAAA001001即，为了使A与能互为减号逆，我们不妨对前面定义的减号逆A加以限制，使A具有这种“自反”的性质。下面我们给出自反广义逆矩阵的定义。AA≠−−)(−A定义1—3对于一个阶实矩阵A，使nm×AXA=A及XAX=X同时成立的阶实矩阵X，称为是A的一个自反广义逆，用Amn×r表示，即有AArA=A及其ArAAr=Ar显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，此时，它满足自反性质。AA=−−)(下面我们来构造自反广义逆的一种算法，我们先引进所谓“最大秩矩阵的右逆、左逆”的概念。一、最大秩矩阵的右逆和左逆定义1—4设A是行最大秩的nm×阶实矩阵（nm≤），如果存在一个阶矩阵G，当G右乘A后得到一个阶单位阵I，即mn×nm×AG=I（1—7）则G叫做A的右逆，记作，这就是说，有1−RA（1—8）IAAR=−1一般来说，右逆可用下面的方法来计算，因为是满秩的方阵，故有1−RATAA（1—9）IAAAAAAAATTTT==−−11))(()()(比较式（1—8）和（1—9），可得（1—10）1−RA1)(−=TTAAA例1—4设−−=210121A试求其右逆解易知rankA=2，即A是行最大秩矩阵，利用式（1—10）式，得1−RA−−=2112011)211201210121(−−−−−=832645141定义1—5设A是列最大秩的mn×实矩阵（），如果存在一个阶矩阵G，当G左乘A后得到一个n×n阶单位阵，即nm≥mn×GA=I（1—11）则G叫做A的左逆，记作，这就是说,有1−LA(1—12)IAAL=−1同理可得计算的公式是1−LA=（1—13）1−LATTAAA1)(−这里值得指出的是，对于行（或列）最大秩的nm×阶矩阵A,和是不可能同时存在的。显然，当且仅当m=n时，同时存在，并且就等于普通的逆矩阵.1−RA11−LA−A二、的最大秩分解方法−rA如果A是行（或列）最大秩长方阵，则它由式（1—10）确定的右逆（或由式（1—13）确定的左逆）显然满足（或）AAAAR=−1AAAAL=−1（或）111−−−=RRRAAAA111−−−=LLLAAAA这表明右逆（或左逆）就是A的一个自反广义逆.1−RA1:−LA−rA在一个最大秩分解A=BC其中B为m×r阶列最大秩矩阵，C为r×n阶行最大秩矩阵，于是，由前面的讨论，B有左逆，C有右逆C，那么求有如下的定理。1−LB1−R−rA定理1—3设A=BC为矩阵A的最大秩分解，则A的自反广义逆的一般形式为−rA=C（1—14）1−R1−LB其中为B的左逆，为C的右逆。1−LB1−RC证由于BC=BC=ABCAAAr=−11−RC1−LBA=CBCC=C=−rA−rA1−R1−LB1−R1−LB1−R1−LB−rA故=C是A的自反广义逆。−rA1−R1−LB其次，设是A的任一自反广义逆矩阵，则−rAAAAAr=−即BCBCBCAr=−上式两端分别左乘以，右乘以C，得。由此可见，CA为B的左逆，记为；为C的右逆，记为C，于是1−LB1−R−R)(rankArIBCArr==−−r1−LBBAr−1~1~1−−−−−−−===LRrrrrrBCBCAAAAAA故式（1—14）是A的自反广义逆的一般形式。当A为行（或列）最大秩矩阵时，它的最大秩分解写成（或）AIAm=nAIA=这样一来，式（1—14）实际上是给出了任何非零矩阵求自反广义逆的一种方法。例1—5设=111032301A求A的一个自反广义逆.−rA解因为，所以由第四章§3中的方法对A作最大秩分解2=rankA−−==210121111221BCA由例1—4的结果，知1−RC=832645141再利用式（1—13）可得1−LB−−=147174111最后用式（1—14）得=−1A1−RC1−LB=8326451541−−147174−−=1111448341091981541值得提出的是，由式（1—14）确定的自反广义