高考数学复习专题训练――立体几何(含详解)

第1页共32页高考数学复习专题训练--立体几何1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）如果AA1=4，AB=2，求点A到平面A1BD的距离；（2）当ABAA1的值等于多少时,二面角B-A1C-A的大小是600．2.已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．(Ⅰ)求证：AP⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面BDF；3.如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长6的正方形，6SDPD，CRSC，AQAP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.（1）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，（2）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体1111ABCDABCD？4.已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，AB=5，B1C1CADD1A1BAQBPDSCR第2页共32页.,4,53cos1的中点是点ABDAACAB.（Ⅰ）求证：1BCAC；（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；（Ⅲ）求三棱锥A1—B1CD的体积.5.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=21AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.6.已知四面体ABCD沿AB，AC，AD剪开展成的平面图形正好是下图所示的直角梯形A1A2A3D（梯形中的三点A1，A2，A3重合于四面体中的点A）.（1）证明：AB⊥CD；（2）当A1D=10，A1A2=8时，求二面角A—CD—B的平面角；（3）在（2）的条件下，求四面体ABCD的体积.7.已知长方体ABCD-1111DCBA中，棱AB＝BC＝3，1BB＝4，连结CB1，过B点作CB1的垂321,,AAAA2A3DA1BCABCD第3页共32页EC1B1A1CBA线交1CC于E，交CB1于F奎屯王新敞新疆（1）求证：CA1⊥平面EBD；（2）求ED与平面CBA11所成角的大小；（3）求二面角E-BD-C的大小奎屯王新敞新疆8.如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF;（Ⅲ）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°9.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.10.如图，在三棱拄111ABCABC中，AB侧面11BBCC，已知11,3BCBCC（1）求证：1CBABC平面；（2）试在棱1CC(不包含端点1,)CC上确定一点E的位置,第4页共32页使得1EAEB；(3)在（2）的条件下,求二面角11AEBA的平面角的正切值.11.如下图，正三角形ABC边长为2a，CD是AB所在直线上的高，E，F分别是AC和BC边上的中点，现将⊿ABC沿CD翻折成直角二面角A-DC-B（1）试判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系，并说明理由。（2）求二面角B-AC-D的大小。（3）求点C到平面DEF的距离。12.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=3，AA1=1，∠ACB=90°．（Ⅰ）求异面直线A1B与CB1所成角的大小；（Ⅱ）问：在A1B1边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A1BC所成的角为30°，若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由．13.如图，已知四棱锥P—ABCD的侧面PAD与底面ABCD垂直，△PAD是边长为a的正三角形，ABCD为直角梯形，AB//CD，DC=2a，∠ADC=90°，∠DCB=45°，E为BP中点，F在PC上且PF=41PC．（Ⅰ）求证EF//平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E—PCD的体积．DFECBADECBAA1AB1BC1CPABCDFE第5页共32页14.如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，D为BC中点，F为BB1上一点，BF＝BC＝2，FB1＝1.（Ⅰ）求证AD⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC1；（Ⅲ）若A1B1＝3，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小.15.如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．（1）在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，说明理由；（2）若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的正弦大小；（3）在（2）的条件下，求平面PQD与平面PAB所成角的余弦大小．16.如图，在四棱锥ABCDP中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=2，aADPAAB31，52arccosADC．（1）求点D到平面PBC的距离；（2）求二面角APDC的大小．17.如图所示，四棱锥P—ABCD中，侧棱PA与底面ABCD垂直，DC=1，AD=AP=2，AB=5，∠CDA=∠DAB=90°，E是PB的中点.（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求异面直线PD、AE所成角的大小；（3）求二面角A-CE-B的大小..ABCA1B1C1DFEEBCAPD第6页共32页18．如图，在长方体1111ABCDABCD中，11,2ADAAAB，点E在棱AB上移动。（Ⅰ）证明：11DEAD；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角1DEC-D的大小为4。19.如图，在直四棱柱1111DCBAABCD中，底面是边长为a的菱形，侧棱长为2a.（Ⅰ）问11DB与DA1能否垂直？并证明你的结论；（Ⅱ）若3ABC，求二面角11BACD的余弦值；（Ⅲ）当ABC在]2,3[变化时，求异面直线111BAAC与所成角的取值范围.20.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=900，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上.（1）当线段CN的长度为多少时，MN⊥AB1；（2）若MN⊥AB1，求二面角A-B1N-M的大小；（3）若MN⊥AB1，求点M到平面AB1N的距离.21.如图，在直三棱柱111CBAABC中，△ABC为等腰直角三角形，090BAC，且1AAAB，E、F分别为1CC、BC的中点．（I）证明：直线FB1平面AEF；CBAEFA1C1B1DCBAA1ED1C1B1第7页共32页（II）求二面角FAEB1的大小（结果可用反三角函数表示）．22.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=900,PA=PB,PC=PD。(I)试判断直线CD与平面PAD是否垂直，并简述理由；（II）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于600，求二面角P-CD-A的大小.23.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，AB=PA=2，∠ABC=60°，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：BC平面PAE；（Ⅱ）求点A到平面PEC的距离．24.如图，直三棱柱111ABCABC中，AB4，1ACAA2，0BAC60。（1）证明：111ACBC；（2）求点1B到平面1ABC的距离；（3）求二面角11CABC的大小。25.如图，将长33AA，宽31AA的矩形沿长的三等分线处折迭成一个三棱柱，如图DBCEAPABC1A1B1C第8页共32页所示：（l）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；（ll）求三棱锥APQA—1的体积.26.如图ABC－A1B1C1是各棱长都为a的正三棱柱，E为AB上一点且EBAE=2，F为CC1的中点（I）求证：BC1∥面A1EF；（II）求截面A1EF与面AA1C1C所成角θ的大小。27.如图4-3，四棱锥ABCD-P的底面是矩形，侧面ADP是正三角形，且侧面⊥ADP底面EABCD,为侧棱DP的中点.（1）试判断直线BP与平面EAC的关系（文科不必证明，理科必须证明）；（2）求证：⊥AE平面DPC；（3）若ABD=A，试求二面角D-PC-A的正切值.ABCA1B1EFC1DPBACE第9页共32页28.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.29.如图，三棱锥ABCP中，0ACABACPAABPA，2224ABACPA．（1）求证：AB平面PAC；(2）求二面角APBC的大小；(3）若M为线段PC上的点，设|PC||PM|，问为何值时能使直线PC平面MAB。30.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点.(Ⅰ)求异面直线EF和PB所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面PCE⊥平面PBC；(Ⅲ)求二面角E-PC-D的大小.答案：1.（1）因为四棱柱AC1是正四棱柱，所以底面是正方形，2.侧面都是矩形，如果AA1=4，AB=2，那么S△ABD=2，VA1-ABD=384231且A1B=A1D=52，设ACBD=OA1O=23220，所以B1C1CADD1A1BOE第10页共32页S△A1BD=3232221设点A到平面A1BD的距离为d,那么由VA1-ABD=VA-A1BD,得.34,38631dd(2)设AB=a,A1A=b在正四棱柱中,由BO⊥AC,BO⊥A1A,ACA1A=A，得BO⊥面A1AC,在面A1BC内过点B作BE⊥A1C,垂足为E,连接OE,由三垂线定理的逆定理知OE⊥A1C,所以∠BEO就是二面角B-A1C-A的平面角.（8分）在Rt△A1AC中,,222,222222211baabOEbaabOECAOCAAOE即（10分）BO=a22，在Rt△BOE中,要使∠BEO=600，必须BO=3OE，即有a22=322222baab，即a=b,所以,当11ABAA时,二面角B-A1C-A的大小是602.证明:(Ⅰ)∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA平面PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．(Ⅱ)由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF.BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．19．解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润总和与年数的关系为f(n),则f(n)=50n－（12n+2)1(nn×4）－72=－2n2+40n－72(Ⅰ)获纯利润就是要求f(n)0,∴－2n2+40n－720，解得2n18.由n∈N知从第三年开始获纯利润.由3≤n≤17可知，可持续获利15年.(Ⅱ)方案①中年平均利润=nnf)(=40－2(n+n36)≤16.当且仅当n=6时取等号.故此方案共获利6×16+48=144（万美元），此时n=6。方案②中纯利润总和为f(n)=－2(n－10)2+128.当n=10时，f(n)max=128.故第②种方案共获利128+16=14