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1.了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，并能运用函数的奇偶性解决一些问题.2.了解周期函数的意义，并能运用函数的周期性解决一些问题.1.函数的奇偶性[思考探究](1)奇偶函数的定义域有何特点？提示：存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0.提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？2.函数的周期性(1)周期函数定义：若一个函数f(x)存在常数T(T≠0)，对于定义域内的任意一个自变量x，都有成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期.(2)最小正周期：若函数f(x)为周期函数，且存在最小的正数T，则T叫做f(x)的，周期函数不一定有最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小正周期1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(－x)是奇函数B.f(x)|f(－x)|是奇函数C.f(x)－f(－x)是偶函数D.f(x)＋f(－x)是偶函数解析：令F(x)＝f(x)＋f(－x).F(－x)＝f(－x)＋f(x)，则F(－x)＝F(x)，所以f(x)为偶函数.答案：D2.对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A.y＝2x－3B.y＝－3x2C.y＝ln5xD.y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x).∴函数y＝ln5x为奇函数.答案：C3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝∴a＋b＝答案：BA.B.C.D.4.已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝.解析：由题意得f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝f(3)－f(2)＝1.答案：15.定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则f(－2009)的值是.解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.由f(1＋x)＝f(1－x)可知f(x)关于直线x＝1对称，∴f(x)＝－f(－x)＝－f(2＋x)＝－[－f(4＋x)]＝f(x＋4)，即f(x)＝f(x＋4)，∴4为f(x)的一个周期，∴f(－2009)＝f(－1)＝－f(1)＝－13＝－1.答案：－1判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域，看是否是关于原点对称的.否则，既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数.②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数.或等价于：＝1，则f(x)为偶函数；＝－1，则f(x)为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.(4)利用函数奇偶性的性质判断在公共定义域内，①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数.[特别警示]分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相应的解析式化简.此类问题也可利用图象作判断.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x=(2)f(x)＝log2(x＋)；(3)f(x)＝(4)f(x)＝(5)f(x)＝x2－|x－a|＋2.[思路点拨][课堂笔记](1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(－x)＝－x＝－x＝x＝x＝f(x)，∴f(x)是偶函数.(2)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋)＝log2＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.(3)由得x＝－或x＝.∴函数f(x)的定义域为{}.又∵对任意的x∈{}，－x∈{}且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x).故f(x)为奇函数.(5)函数f(x)的定义域为R.当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2.f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函数.判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)，f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12).[思路点拨][课堂笔记](1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称.又∵函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).∴令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)∵f(－3)＝a且f(x)为奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝－a.又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.1.周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：一类是研究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性.抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明，证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发，推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函数的同时求出周期.2.若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个.3.若f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)恒成立，其中a，b均为常数，且a≠b，则T＝a－b是函数f(x)的一个周期.4.根据函数周期性，可求某区间上函数解析式，画出某区间上图象或求某一函数值.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称.(1)求f(0)的值；(2)证明：函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)＝x(0x≤1)，求x∈R时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.[思路点拨][课堂笔记](1)f(0)＝0(2)函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)①又f(x)关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)②由①②得，－f(－x)＝f(2－x)，换－x为x，则f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数.(3)f(x)＝(k∈Z)，图象为：(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性.函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.[思路点拨][课堂笔记](1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2.f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64).(*)法一：∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64).又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|(3x＋1)(2x－6)|≤64.解上式，得3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.法二：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(*)等价于不等式组∴3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.将本例中的条件f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)改为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，定义域D＝{x|x≠0}改为D＝R，求解第(3)问.解：∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，即f(5x－5)≤f(12).又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数，∴5x－5≤12，∴x≤函数奇偶性的判定以及利用函数的奇偶性求参数是高考对函数奇偶性的常规考法，09年山东、陕西等省将函数的奇偶性、单调性以及比较大小等问题综合出现在高考试题中，这是高考一个新的考查方向.[考题印证](2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0.则当n∈N*时，有()A.f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B.f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C.f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D.f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)【解析】由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数.又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈(0，＋∞)为减函数.又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1).【答案】C[自主体验]已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(—)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.答案：C1.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为()A.－1B.1C.－2D.2解析：∵f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a为偶函数，∴2－a＝0，即a＝2.答案：D2.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A.3B.0C.－1D.－2解析：f(a)＝a3＋sina＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.答案：B3.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析：∵