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掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．1．双曲线的定义(1)第一定义平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．(2)第二定义平面内与一个定点F和一条的距离的比是常数e(e1)的动点C的轨迹叫做双曲线．差的绝对值定直线l(F不在l上)[思考探究1]在双曲线的第一定义中，如果常数2a＝|F1F2|,2a|F1F2|，2a＝0时，则动点M的轨迹是什么？提示：如果2a＝|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；如果2a|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a＝0，则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)图形标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质焦点F1，F2F1，F2焦距|F1F2|＝(c＝)|F1F2|＝(c＝)范围2c2c(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质对称性关于、和对称顶点轴实轴，虚轴，实轴长，虚轴长x轴y轴原点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)A1A2B1B22a2b标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质离心率e＝()准线方程x＝y＝渐近线e1ca标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质焦半径若点P在右半支上，则|PF1|＝，|PF2|＝；若点P在左半支上，则|PF1|＝，|PF2|＝若点P在上半支上，则|PF1|＝，|PF2|＝；若点P在下半支上，则|PF1|＝，|PF2|＝ex1＋aex1－a－(ex1＋a)－(ex1－a)ey1＋aey1－a－(ey1＋a)－(ey1－a)[思考探究2]双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．1．双曲线＝1的焦距为()A．3B．4C．3D．4解析：由已知得c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，故焦距为4.答案：D2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为()A.＝1B.＝1C.＝1D.＝1解析：由已知有c＝4，e＝＝2，∴a＝2，b2＝12.∴双曲线方程为＝1.答案：A3．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－8C．14＋8D．8解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8，又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8，∴△PF2Q的周长为14＋8.答案：C4．已知双曲线－y2＝1，则其渐近线方程是________，离心率e＝________.解析：由－y2＝0，得y＝±x即为渐近线方程．又a＝2，b＝1，∴c＝，∴e＝.答案：y＝±x5．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线方程是________．解析：由条件知，双曲线焦点在x轴上，且c＝，又∵＝3，∴c2＝a2＋b2＝10a2＝10，∴a2＝1，b2＝9，∴双曲线方程为x2－＝1.答案：x2－＝11.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支．2．求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．(2)待定系数法①待定系数法的步骤定位：确定焦点位置；设方程：由焦点位置设方程；定值：根据条件确定相关参数．②待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线=1共渐近线的可设为=λ（λ≠0）若渐近线方程为y=±x，则可设为=λ（λ≠0）若过两个已知点则设为=1（mn0）[特别警示]在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[思路点拨][课堂笔记]设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是＝1(x≥)．若将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，及圆C2：(x－4)2＋y2＝2，一个内切、一个外切．那么动圆圆心的轨迹方程如何？解：由例题可知：当圆M与圆C1外切与圆C2内切时，|MC1|－|MC2|＝2.当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时，|MC2|－|MC1|＝2.∴||MC1|－|MC2||＝2＜|C1C2|＝8.∴圆心的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴动圆圆心的轨迹方程为＝1.已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．[思路点拨][课堂笔记]法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2yp＝3.∴双曲线的焦点在y轴上．从而有，∴b＝2a.设双曲线方程为＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为－y2＝－5，即＝1.1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．(2)求已知渐近线的双曲线的方程．(3)渐近线的斜率与离心率的关系．如k＝双曲线＝1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．[思路点拨][课堂笔记]直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝同理可得点(－1,0)到直线l的距离d2＝∴s＝d1＋d2＝又s≥c得≥c，即5a·≥2c2，于是得：5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解得e2∈[，5]．又e1，∴e的范围是e∈[]．1.直线与双曲线的位置关系设双曲线方程＝1(a0，b0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2＋nx＋p＝0，(1)若m≠0，当Δ0时，直线与双曲线有两个交点．当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．当Δ0时，直线与双曲线无公共点．(2)若m＝0，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行．2．与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用根与系数关系，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于点M(0，m)，求m的取值范围．[思路点拨][课堂笔记](1)设双曲线C的方程为＝1(a0，b0)．由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意知解得k1.∴当k1时，l与双曲线左支有两个交点．(3)由(2)得：xA＋xB＝，∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.∴AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为：y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.∵k1，∴－21－3k20.∴m－2.∴m的取值范围为(－∞，－2)．双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要组成部分，双曲线的定义、标准方程和几何性质都是每年高考的重点内容.09年重庆高考中将双曲线几何性质与三角函数、不等式融为一体，考查了学生对数学知识的迁移、组合能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·重庆高考)已知双曲线＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【解析】∵(由正弦定理得)，∴∴|PF1|＝e|PF2|.又∵||PF1|－|PF2||＝2a(e1)，∴(e－1)|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.由双曲线性质知|PF2|c－a，∴c－a，即e－1，得e2－2e－10，又∵e1，得1e1＋.【答案】(1，＋1)[自主体验]已知点P是双曲线＝1(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为()A.B.C.D.解析：设△PF1F2的内切圆半径为R，S＝|PF1|·R，S＝|PF2|·R，S＝|F1F2|·R，∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，∴λ＝答案：BA.B.C.D.1．(2010·合肥摸拟)已知双曲线＝1(a0，b0)的一条渐近线的方程为4x－3y＝0，则此双曲线的离心率为()解析：因为双曲线＝1的一条渐近线的方程为4x－3y＝0，所以，故双曲线的离心率e＝＝答案：D2．若双曲线＝1(a0，b0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,]B.[,+∞)C.(1,+1]D.[+1,+∞)解析：设右支上一点P(x0，y0)，P到左准线距离为：x0＋P到右焦点距离为ex0－a，∴x0＋＝ex0－a.∴x0＝a·≥a.∴e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤1＋，又∵e1，∴1e≤1＋答案：C3．双曲线－y2＝1(n1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()A．1B.C．2D．4解析：不妨设|PF1||PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，∴|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴S＝|PF1|·|PF2|＝1.答案：A4．过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程是____________．解析：由题意，设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，由点(2，－2)在双曲线上，∴λ＝－4＝－2，∴所求双曲线方程为＝1.答案：＝15．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：56．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝