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1.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义.2.会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.1．离散型随机变量的期望与方差分布列ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…期望定义称Eξ＝为ξ的数学期望或平均值、均值意义期望反映了离散型随机变量取值的x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…平均水平方差定义把Dξ＝叫做ξ的方差意义反映随机变量取值的标准差Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2p2＋…＋(xn－Eξ)2pn＋…稳定与波动σξ2．期望与方差的性质(1)期望的性质(2)方差的性质1．随机变量ξ的分布列如下图，则ξ的数学期望是()A．2.0B．2.1C．2.2D．随m的变化而变化ξ123P0.20.5m解析：由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B2．已知ξ的分布列为ξ－101P则在下列式子中，①E(ξ)＝－；②D(ξ)＝；③P(ξ＝0)＝.正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(ξ)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝(ξ＝0)＝，故①③正确，②错误．答案：C3．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析：∵ξ～B(n，p)，∴Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．由np＝1.6，np(1－p)＝1.28，得n＝8，p＝0.2.答案：A4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，以ξ表示取得红球的个数，则P(ξ＝1)＝______________，E(ξ)＝______________.解析：由已知可得P(ξ＝0)＝＝0.1，P(ξ＝1)＝＝0.6，P(ξ＝2)＝＝0.3，所以易得E(ξ)＝1.2.答案：0.61.25．已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝4，Y＝2ξ＋3，D(Y)＝3.2，则P(ξ＝2)＝__________(结果用数字表示)．解析：由已知条件可求得n＝5，p＝0.8，故P(ξ＝2)＝.答案：求离散型随机变量期望的方法步骤：1．理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；2．求ξ取每个值的概率；3．写出ξ的分布列；4．由期望的定义求Eξ.[特别警示]Eξ是一个实数，即ξ作为随机变量是可变的，而Eξ是不变的．(2009·浙江高考)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．[思路点拨][课堂笔记](1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.故ξ的分布列是：ξ012P所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×.求离散型随机变量的方差的分法步骤：1．求Eξ(具体方法见考点一)；2．代入方差公式求Dξ.[特别警示]期望与方差的关系是Dξ＝Eξ2－(Eξ)2.因此也可利用该关系求方差．某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费．设出租车一次行驶的路程数X(按整km数计算，不足1km的自动计为1km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某一天每次出车都超过了3km，且一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.(1)求这一天中一次行驶路程ξ的分布列，并求ξ的期望和方差；(2)求这一天中一次所收出租车费η的期望和方差．[思路点拨][课堂笔记](1)由概率分布的性质有0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1.∴100a2＋7a＝0.3，∴1000a2＋70a－3＝0，∴a＝或a＝－(舍去)，即a＝0.03.∴100a2＋3a＝0.18,4a＝0.12，∴ξ的分布列为：ξ202224262830P0.120.180.200.200.180.12∴E(ξ)＝20×0.12＋22×0.18＋24×0.20＋26×0.20＋28×0.18＋30×0.12＝25(km)．D(ξ)＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y＝3ξ－3(ξ＞3，ξ∈N)，∴E(Y)＝E(3ξ－3)＝3E(ξ)－3＝3×25－3＝72(元)，D(Y)＝D(3ξ－3)＝32D(ξ)＝86.76.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．[思路点拨][课堂笔记]分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.(1)设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P(E)＝P(A1·)＋P(·A2·)＋P(·A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)，故Eξ＝np＝3×0.3＝0.9.法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，所以P(ξ＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P(ξ＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，P(ξ＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P(ξ＝3)＝0.33＝0.027.于是，Eξ＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.Dξ＝3×0.3×(1－0.3)＝0.63.以解答题的形式考查离散型随机变量的期望与方差的计算是高考对本节内容的常规考法.09年山东、安徽、湖南、重庆、陕西等高考均以实际问题为背景考查离散型随机变量的期望与方差在实际问题中的应用，是高考对本讲内容考查的命题方向.[考题印证](2009·山东高考)(12分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ02345P0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．【解】(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)(2)根据题意P1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24；P2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01；P3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)＝0.75×0.82＝0.48；P4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.┄┄┄┄┄(5分)因此E(ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(7分)(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)＞P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)[自主体验]某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为.已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元．假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．(1)求工厂每月盈利额ξ(万元)的所有可能的取值；(2)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；(3)求工厂每月盈利额ξ的数学期望．解：(1)工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能的结果是：0,1,2,3，则相应的月盈利额ξ的取值是ξ＝－30，5,40,75.(2)月盈利额ξ的分布列是：P(ξ＝－30)＝；P(ξ＝5)＝；P(ξ＝40)＝；P(ξ＝75)＝，即ξ－3054075P所以P(ξ≥40)＝P(ξ＝40)＋P(ξ＝75)＝.所以该工厂达到盈利目标的概率为.(3)由分布列，得月盈利额的数学期望是：E(ξ)＝(－30)×＋5×＋40×＋75×＝54(万元)．1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ＜3)等于()A.B.C.D.解析：P(ξ＜3)＝P(ξ＞3)＝.答案：D2．已知分布列为：ξ－101Pa且设η＝2ξ＋3，则η的均值是()A.B．4C．－1D．1解析：由分布列性质有＋a＝1，即a＝.E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，∴Eη(ξ)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝3－.答案：A3．设随机试验的结果只有A与，P(A)＝p，令随机变量ξ＝则ξ的方差为()A．pB．2p(1－p)C．－p(1－p)D．p(1－p)解析：E(ξ)＝0·(1－p)＋1·p＝p，D(ξ)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2＝p(1－p)．答案：D4．(2009·广东高考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表．若E(ξ)＝0，D(ξ)＝1，则a＝________，b＝________.ξP－1012abc解析：由题意得，a＋b＋c＋＝1，①∵E(ξ)＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，即－a＋c＋＝0，②∵D(ξ)＝1，∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，即a＋c＝，③联立①②③解得a＝，b＝.答案：5．(2010·合肥模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ＝________.解析：ξ的取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×.答案：6．(2009·全国卷Ⅰ改编)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．解：记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3,4,5，Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3,4,5.ξ的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(ξ＝2)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.故ξ的分布列为：ξ23P0.520.48E(ξ)＝2×P(ξ＝2)＋