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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．2．了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想．1．双曲线定义的理解2．双曲线的几何性质标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)图形标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质范围对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2x≤－a或x≥ay≤－a或y≥ax轴、y轴x轴、y轴(0,0)(0,0)(－a,0)(0，－a)(a,0)(0,a)标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质渐近线离心率e＝，e∈，其中c＝y＝±xy＝±x(1，＋∞)标准方程＝1(a0，b0)＝1(a0，b0)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a、b、c的关系c2＝(ca0，cb0)2a2ba2＋b2[思考探究]双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．1．双曲线＝1的焦距为()A．3B．4C．3D．4解析：由已知得c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，故焦距为4.答案：D2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为()A.＝1B.＝1C.＝1D.＝1解析：由已知有c＝4，e＝＝2，∴a＝2，b2＝12.∴双曲线方程为＝1.答案：A3．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－8C．14＋8D．8解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8，又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8，∴△PF2Q的周长为14＋8.答案：C4．已知双曲线－y2＝1，则其离心率e＝________.解析：由－y2＝1，得a＝2，b＝1，∴c＝，∴e＝.答案：5．抛物线y2＝8x的焦点与双曲线＝1的右焦点重合，则m＝________.解析：y2＝8x的焦点(2,0)，双曲线的右焦点为(，0)，∴＝2，∴m2＝3.m＝±答案：±1.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支．2．求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．(2)待定系数法①[特别警示](1)若已知双曲线过两点，可设方程(2)在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[思路点拨][课堂笔记]设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是＝1(x≥)．若将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，及圆C2：(x－4)2＋y2＝2，一个内切、一个外切．那么动圆圆心的轨迹方程如何？解：由例题可知：当圆M与圆C1外切与圆C2内切时，|MC1|－|MC2|＝2.当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时，|MC2|－|MC1|＝2.∴||MC1|－|MC2||＝2＜|C1C2|＝8.∴圆心的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴动圆圆心的轨迹方程为＝1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．(2009·湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．[思路点拨][课堂笔记]设两焦点为F1，F2，虚轴两端点为B1，B2，则可知四边形F1B1F2B2为菱形，由OF2＝c＞b＝OB2得，∠B1F2B2＝60°，则∠OF2B2＝30°，tan∠OF2B2＝，b＝c，a＝c，故双曲线的离心率为e＝.[答案]1.直线与双曲线的位置关系设双曲线方程＝1(a0，b0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2＋nx＋p＝0，(1)若m≠0，当Δ0时，直线与双曲线有两个交点．当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．当Δ0时，直线与双曲线无公共点．(2)若m＝0，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行．2．与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用根与系数关系，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于点M(0，m)，求m的取值范围．[思路点拨][课堂笔记](1)设双曲线C的方程为＝1(a0，b0)．由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意知解得k1.∴当k1时，l与双曲线左支有两个交点．(3)由(2)得：xA＋xB＝，∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.∴AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为：y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.∵k1，∴－21－3k20.∴m－2.∴m的取值范围为(－∞，－2)．双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要组成部分，但由于新课程考试说明对双曲线降低了要求，因此预计2011年高考中出现的题目难度会继续降低，题型将以选择、填空为主.09年重庆高考中将双曲线几何性质与三角函数、不等式融为一体，考查了学生对数学知识的迁移、组合能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力．[考题印证](2009·重庆高考)已知双曲线＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【解析】∵(由正弦定理得)，∴∴|PF1|＝e|PF2|.又∵||PF1|－|PF2||＝2a(e1)，∴(e－1)|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.由双曲线性质知|PF2|c－a，∴c－a，即e－1，得e2－2e－10，又∵e1，得1e1＋.【答案】(1，＋1)[自主体验]已知点P是双曲线＝1(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为()A.B.C.D.解析：设△PF1F2的内切圆半径为R，S＝|PF1|·R，S＝|PF2|·R，S＝|F1F2|·R，∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，∴λ＝答案：B1．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为的是()解析：双曲线离心率e＝，只有B选项符合．答案：B2．(2009·福建高考)若双曲线＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于()A．2B.C.D．1解析：由条件知，c＝，∴e＝＝2，∴a＝1.答案：D3．双曲线－y2＝1(n1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()A．1B.C．2D．4解析：不妨设|PF1||PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，∴|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴S＝|PF1|·|PF2|＝1.答案：A4．双曲线＝1(a0，b0)的离心率为2，则的最小值为________．解析：⇒＝4⇒a2＋b2＝4a2⇒3a2＝b2，则当a＝，即a＝时取得最小值.答案：5．两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且ab，则双曲线＝1的离心率e等于________．解析：由题意知a＋b＝5，ab＝6，又ab，∴a＝3，b＝2，∴e＝.答案：6．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．(1)若＝0，求a的值；(2)若A、B在双曲线的左、右两支上，求a的取值范围．解：(1)由消去y得(3－a2)x2－2ax－2＝0.①由题意知Δ＝4a2＋8(3－a2)0，得－a.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝－＋1＝1，∵＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即－＋1＝0，∴a＝±1.(2)若A、B在双曲线左右两支上，则有x1x20，即－0，∴－a.