高考数学复习：平面向量、解三角形

第五编平面向量、解三角形§5.1平面向量的概念及线性运算基础自测1.下列等式正确的是（填序号）.①a+0=a②a+b=b+a③AB+BA≠0④AC=DC+AB+BD答案①②④2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是.①AB=DC②AD+AB=AC③AB-AD=BD④AD+CB=0答案①②④3.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=.答案32a+31b4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a，AD=b，则BE=.答案b-21a5.设四边形ABCD中，有DC=21AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是.答案等腰梯形例1给出下列命题①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为.答案4例2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB=a，ABCDAD=b，DC=c，试用a、b、c表示BC，MN，DN+CN.解BC=BA+AD+DC=-a+b+c，∵MN=MD+DA+AN，∴MD=-21DC,DA=-AD,AN=21AB,∴MN=21a-b-21c.DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.例3设两个非零向量a与b不共线，（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b)，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.（1）证明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.∴AB、BD共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.（2）解∵ka+b与a+kb共线，∴存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.∴(k-)a=(k-1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k-=k-1=0，∴k2-1=0.∴k=±1.例4（14分）如图所示，在△ABO中，OC=41OA,OD=21OB,AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b.试用a和b表示向量OM.解设OM=ma+nb，则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=21OB-OA=-a+21b.又∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线.∴存在实数t,使得AM=tAD，即(m-1)a+nb=t(-a+21b).4分∴(m-1)a+nb=-ta+21tb.21tntm，消去t得：m-1=-2n.即m+2n=1.①6分又∵CM=OM-OC=ma+nb-41a=(m-41)a+nb.CB=OB-OC=b-41a=-41a+b.又∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线.10分∴存在实数t1,使得CM=t1CB,∴(m-41)a+nb=t141,∴114141tntm，消去t1得,4m+n=1②12分由①②得m=71,n=73,∴OM=71a+73b.14分1.下列命题中真命题的个数为.①若|a|=|b|，则a=b或a=-b;②若AB=DC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.答案12.在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=31OB.DC与OA交于E，设OA=a，OB=b，用a,b表示向量OC，DC.解因为A是BC的中点，所以OA=21(OB+OC)，即OC=2OA-OB=2a-b；DC=OC-OD=OC-32OB=2a-b-32b=2a-35b.3.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,31(a+b)三向量的终点在同一条直线上？解设OA=a，OB=tb，OC=31(a+b)，ab∴∴AC=OC-OA=-32a+31b，AB=OB-OA=tb-a.要使A、B、C三点共线，只需AC=AB即-32a+31b=tb-a∴有t3132，∴2132t∴当t=21时，三向量终点在同一直线上.4.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.解方法一设e1=BM,e2=CN,则AM=AC+CM=-3e2-e1，BN=BC+CN=2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使AP=AM=-3e2-e1，BP=BN=2e1+e2，∴BA=BP-AP=（+2）e1+（3+）e2，另外BA=BC+CA=2e1+3e2，3322，∴5354，∴AP=54AM,BP=53BN,∴AP∶PM=4∶1.方法二设AP=AM，∵AM=21（AB+AC）=21AB+43AN，∴AP=2AB+43AN.∵B、P、N三点共线，∴AP-AB=t(AB-AN),∴AP=(1+t)AB-tAN∴tt4312∴2+43=1，=54，∴AP∶PM=4∶1.一、填空题1.下列算式中正确的是（填序号）.①AB+BC+CA=0②AB-AC=BC③0·AB=0④（a）=··a答案①③④2.（2008·全国Ⅰ理）在△ABC中，AB=c，AC=b，若点D满足BD=2DC，则AD=（用b,c表示）.答案32b+31c3.若AB=3e1，CD=-5e1，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD是.答案等腰梯形4.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若OP=aOP1+bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足a0,b0.(用“＞”,“＜”或“=”填空)答案＞＜5.设OB=xOA+yOC，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O），则x+y=.答案16.已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA+PB+PC=AB，则点P在线段上.答案AC7.在△ABC中，CA=a，CB=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP可用a、b表示为.答案-32a+31b8.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD=31CA+CB,则=.答案32二、解答题9.如图所示，△ABC中，AD=32AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设AB=a，AC=b，用a,b分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN.解ABADBCDE32//AE=32AC=32b.BC=AC-AB=b-a.由△ADE∽△ABC，得DE=32BC=32(b-a).由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得DN=21DE=31(b-a).而且AM=AB+BM=a+21BC=a+21(b-a)=21(a+b).ABADABMADN32AN=32AM=31(a+b).10.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE=32AD，AB=a，AC=b.（1）用a、b表示向量AD、AE、AF、BE、BF；（2）求证：B、E、F三点共线.（1）解延长AD到G，使AD=21AG，连接BG、CG，得到ABGC，所以AG=a+b,AD=21AG=21(a+b),AE=32AD=31(a+b).AF=21AC=21b,BE=AE-AB=31(a+b)-a=31(b-2a).BF=AF-AB=21b-a=21(b-2a).(2)证明由(1)可知BE=32BF,所以B、E、F三点共线.11.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF=21(AB+DC).证明方法一如图，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EA+ED=0，FB+FC=0，又∵AB+BF+FE+EA=0，∴EF=AB+BF+EA①同理EF=ED+DC+CF②由①+②得，2EF=AB+DC+（EA+ED）+（BF+CF）=AB+DC.∴EF=21(AB+DC).方法二连结EB，EC，则EC=ED+DC，EB=EA+AB，∽∴EF=21(EC+EB)=21(ED+DC+EA+AB)=21(AB+DC).12.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM=xAB，AN=yAC，求x1+y1的值.解根据题意G为三角形的重心，故AG=31(AB+AC)，MG=AG-AM=31(AB+AC)-xAB=(31-x)AB+31AC,GN=AN-AG=yAC-AG=yAC-31(AB+AC)=（y-31）AC-31AB,由于MG与GN共线，根据共线向量基本定理知MG=GN(31-x)AB+31AC=ABACy31)31(，)31(313131yx3131x=3131yx+y-3xy=0两边同除以xy得x1+y1=3.§5.2平面向量基本定理及坐标表示基础自测1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量21a-23b=.答案(-1,2)2.（2008·安徽理）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2，4)，AC=(1，3)，则BD=.答案（-3，-5）3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c=（用a,b表示）.答案-21a-23b4.已知向量a=x2`1,8,b=(x，1)，其中x＞0，若(a-2b）∥(2a+b)，则x的值为.答案45.设a=43,sinx，b=x，cos2131，且a∥b，则锐角x为.答案4例1设两个非零向量e1和e2不共线.（1）如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果AB=e1+e2，BC=2e1-3e2，CD=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.（1）证明AB=e1-e2，BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-21(-8e1-2e2)=-21CD,∴AC与CD共线，又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线.（2）解AC=AB+BC=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC与CD共线，从而存在实数使得AC=CD,即3e1-2e2=(2e1-ke2)，由平面向量的基本定理，得k223，解之得=32，k=34.例2已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.解设D的坐标为（x,y）.(1)ABCD，则由AB=DC得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),∴2211yx,∴x=0，y=-4.∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.（2ADBC，则由AD=CB得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.∴D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.（3ABDC，则由AB=CD得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.∴D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.例3（14分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）∥(2b-a)，求