2-1连续型随机变量及其分布律(3)(精)

一、概率密度的概念与性质第二章三、内容小结二、常见连续型随机变量的分布第一节连续型随机变量及其分布密度(3)一、概率密度的概念与性质1.定义对于随机变量X，若存在非负可积函数p(x)(xR),使得X的分布函数xdttpxF)()(.)(度的密度函数，或概率密为Xxp)(xpy)(xFxxyo则称X为连续型随机变量,且称2.密度函数的性质(1);0)(Rxxp(2);1)(dxxp(非负性)(规范性)(3);)()()(}{dxxpaFbFbXaPba,)(的密度函数为Xxp的分布函数，则为XxF)(上连续；在分布函数),()()5(xF(6)).()()(xpxFxxp处连续，则在点若(4);0}{cXP设X为连续型随机变量xxpbd)(证(3).d)(xxpbaxxpad)()()(}{aFbFbXaP)(bFba)(aF)(xpyxyo}{1}{aXPaXP)(1aF.d)(xxpa还可得(4)对于任意可能值c,连续型随机变量取c的概率等于零.即.0}{cXP证(4)0},{}{cXccX.0xxpccd)(lim0}{}{0cXcPcXP而}{lim0cXcP.0}{cXP注.1º}{}{bXaPbXaPX为连续型随机变量，则若}{bXaP}{bXaP2º0)(APA=1)(APA=连续型随机变量的概率与区间的开闭无关.0}{aXP若连续型随机变量X=a是不可能事件,则有,0}{aXP若是不可能事件}{aX.0}{aXP若X=a为离散型随机变量,连续型离散型是不可能事件则不能确定}{aX.)3(};2{)2(;,)1(:.,1,,arcsin,,0)(的概率密度随机变量的值系数求的分布函数为设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX例1),()0()0(aFaFaF故有解(1)因为X是连续型随机变量,,)()0()0(aFaFaF,)(连续所以xFaaBAarcsinaaBAarcsinBA20即BA2,1.,1,,arcsin,,0)(axaxaaxBAaxxF.1B.,1,,arcsin121,,0)(axaxaaxaxxF所以,21A解之得)2(aF0)2arcsin(π121aa6ππ121}2{)2(aXaP)(aF.32)()(xFxp的概率密度为随机变量X)3(.,0,,122其它axaxa.,1,,arcsin121,,0)(axaxaaxaxxF二、常见连续型随机变量的分布分布名称记号分布密度均匀分布X~U[a,b]],[,0],[,1)(baxbaxabxp正态分布),(~2NX)0,(21)(222)(Rxexpx分布名称记号分布密度指数分布)(~EX)0(0,00,)(常数xxexpx].,[~,),(,,0,,1)(baUXbaXbxaabxpX记为区间上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度设连续型随机变量boaxp)(概率密度函数图形1.均匀分布(1)定义.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数xo)(xFab1(2)均匀分布的性质若X~U[a,b]，则①0}{}{bXPaXP②有时当,bdca.}{abcddXcP(3)均匀分布的意思,],[Xba变量上服从均匀分布的随机在区间.],[性是相同的内的可能中任意等长度的子区间落在区间ba)(xpablplxoabab1l背景：几何概型设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的分布密度函数为.,,,)(其它05231xxp设A表示“对X的观测值大于3”,解即A={X3}.例2}2{YP.2720因而有设Y表示对X进行3次独立观测中,观测值大于3的次数,则).32,3(~BY)321()32(223C0333)321()32(C}3{)(XPAP由于,32d3153x2.正态分布(或高斯分布)).,(~,,,)0(,,,π21)(22)(22σμNXσμXσσμxeσxpXσμx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量高斯资料(1)定义;)1对称曲线关于μx;π21)(,)2σxpμx取得最大值时当;0)(,)3xpx时当;)4处有拐点曲线在σμx(2)正态概率密度函数的几何特征;,)(,,)6轴作平移变换着只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxpμσ;)5轴为渐近线曲线以x.,,,,,)(,,)7图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定σσxpσμ正态分布的分布函数teσxFxσμtd21)(222)(正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景(3)正态分布下的概率计算teσxFxσμtd21)(222)(}{xXP?原函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,π21)(22xexx标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为.,d21)(22xtexxt标准正态分布的图形性质：x)(xy-x),1,0(~NX若则其分布密度述性质：具有下及分布函数)()(xx①为偶函数；)(x②),(1)(xx③;21)0()(maxxM④数表示；的原函数不能用初等函)(x；5.0)0(xyo)(x)(1x⑤121)(22dxedxxx由可得.222dxex),,(~2NX若则其分布密度)0,(21)(222)(Rxexpx①则若),1,0(~NX可查表2，得}{)(xXPx如：}25.0{XP5987.0)25.0(时，当0x);(1)(xx可利用时，当0x情形1.②③).()(}{abbXaP计算方法：}.225.1{),1,0(~XPNX求已知解}225.1{XP)25.1()2(8944.09772.0.0828.0例3情形2.则若),,(~2NX①);1,0(~NX②时，有为常数，且当0,aba);,(~22abaNbaX③}{bXaP),()(ab).(}{bbXP证①,RyXY则，令)(yFY}{}{yXPyYP}{yXPttpyd)(ytted21222)(tu令yuued2122)(y)1,0(~NY).1,0(~NX即③)1,0(~NXY}{bXaP}{bXaP}{bYaP).()(ab例4某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制),服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.解依题意，考生外语成绩X),,(~2N，且其中72023.0}96{XP}96{1}96{XPXP于是977.0023.01}96{XP又)96()24()7296(977.0)24(查表，知977.0)2(的单调增加性，得由)(x22412)12,72(~2NX因而}8460{XP故)127260()127284()1()1()]1(1[)1(1)1(2查表，得841.0)1(682.01841.02}8460{XP3.指数分布.,0.0,0,0,)(分布的指数服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义XxxexpXx某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数.0,0,0,1)(xxexFx设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率..0,0,0,1)(20001xxexFxX的分布函数为解例5}1000{)1(XP}1000{1XP)1000(1F.607.021e}10002000{)2(XXP}1000{}1000,2000{XPXXP}1000{}2000{XPXP.0,0,0,1)(20001xxexFx}1000{1}2000{1XPXP)1000(1)2000(1FF.607.021e指数分布的重要性质:“无记忆性”..0,0,0,1)(20001xxexFx分布函数概率密度三、内容小结2.常见连续型随机变量的分布xttpxFd)()(.连续型随机变量1均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布正态分布有极其广泛的实际背景,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度;炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.3.正态分布是概率论中最重要的分布另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换Born:30April1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Feb1855inGöttingen,Hanover(nowGermany)CarlFriedrichGaussGauss