电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答

三章习题解答3.1真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题3.1图所示)。解由点电荷q和q共同产生的电通密度为33[]4qRRRRD22322232()(){}4[()][()]rzrzrzarzaqrzarzaeeee则球赤道平面上电通密度的通量0ddzzSSSDSDe223222320()[]2d4()()aqaarrrara221201(1)0.293()2aqaqqra3.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ar的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314raZerrrDe，试证明之。解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为124rZerDe原子内电子云的电荷体密度为333434aaZeZerr电子云在原子内产生的电通量密度则为32234344rrarZerrrDee故原子内总的电通量密度为122314raZerrrDDDe3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30Cm,两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c)(abc，如题3.3图()a所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为0的均匀电荷分布，如题3.3图()b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在br区域中，由高斯定律0dSqES，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为2200120022rbbrrrEe2200120022raarrrEeqqa赤道平面题3.1图题3.3图()aabc0点P处总的电场为2211220()2barrrrEEE在br且ar区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为220022rrrrEe22220022raarrrEe点P处总的电场为202220()2arrEEEr在ar的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为20030022rrrrEe20030022rrrrEe点P处总的电场为003300()22EEErrc3.4半径为a的球中充满密度()r的体电荷，已知电位移分布为32542()()rrArraDaAarar其中A为常数，试求电荷密度()r。解：由D，有221d()()drrrDrrD故在ra区域23220021d()[()](54)drrrArrArrr在ra区域5420221d()()[]0daAarrrrr3.5一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为4()rraEe，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为20021d[()]drErrE432002441d[()]6drrrrraa（2）球体内的总电量Q为3220040d64d4arQrraa题3.3图()b＝＋abc0abc0abc0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为02224Qa3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为ra和rb()ba，圆柱表面分别带有密度为1和2的面电荷。（1）计算各处的电位移0D；（2）欲使rb区域内00D，则1和2应具有什么关系？解（1）由高斯定理0dSqDS，当ra时，有010D当arb时，有02122rDa，则102rarDe当br时，有0312222rDab，则1203rabrDe（2）令12030rabrDe，则得到12ba3.7计算在电场强度xyyxEee的电场中把带电量为2C的点电荷从点1(2,1,1)P移到点2(8,2,1)P时电场所做的功：（1）沿曲线22xy；（2）沿连接该两点的直线。解（1）ddddxyCCCWqqExEyFlEl2221ddd(2)2dCqyxxyqyyyy22616d142810()qyyqJ（2）连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为2812xxyy即640xy故W21ddd(64)(64)dCqyxxyqyyyy261(124)d142810()qyyqJ3.8长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E核对。解（1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为202220d(,0)4LlLzrrz222020ln()4LlLzrz220220(2)2ln4(2)2lrLLrLL2200(2)2ln2lrLLr2L2LPzro0l题3.8图（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元zld0在点P的电场为0220dddcos2lrrrzErzEee022320d2()lrrzrze故长为L的线电荷在点P的电场为20223200dd2()LlrrzrzEEe202200()2Llrzrrze02204(2)lrLrrLe由E求E，有22002(2)ln2lLrLrE2200dln2(2)ln2dlrLrLrre022220122(2)(2)lrrrLrLrLe02204(2)lrLrrLe3.9已知无限长均匀线电荷l的电场02lrrEe，试用定义式()dPrrrEl求其电位函数。其中Pr为电位参考点。解000()ddlnln222PPPrrrlllPrrrrrrrrrEl由于是无限长的线电荷，不能将Pr选为无穷远点。3.10一点电荷q位于(,0,0)a，另一点电荷2q位于(,0,0)a，求空间的零电位面。解两个点电荷q和2q在空间产生的电位222222012(,,)[]4()()qqxyzxayzxayz令(,,)0xyz，则有222222120()()xayzxayz即2222224[()]()xayzxayz故得222254()()33xayza由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a为球心、43a为半径的球面。3.11证明习题3.2的电位表达式为2013()()422aaZerrrrr解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为124rZerDe电子云在原子外产生的电通量密度则为32224344arrrZerrDee所以原子外的电场为零。故原子内电位为230011()d()d4aarrarrZerrDrrrr2013()422aaZerrrr3.12电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为2()0()()cosrraarArrar（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解（1）由E，可得到ra时，0Era时，E22[()cos][()cos]raaArArrrrree2222(1)cos(1)sinraaAArree（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为0002cosrraraAnEeE3.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20（1）sin()sin()hzkxlye其中222hkl；（2）[cos()sin()]nrnAn圆柱坐标；（3）cos()nrn圆柱坐标；（4）cosr球坐标；（5）2cosr球坐标。解（1）在直角坐标系中2222222xyz而22222[sin()sin()]sin()sin()hzhzkxlyekkxlyexx22222[sin()sin()]sin()sin()hzhzkxlyelkxlyeyy22222[sin()sin()]sin()sin()hzhzkxlyehkxlyezz故2222()sin()sin()0hzklhkxlye（2）在圆柱坐标系中2222221()rrrrrz而11(){[cos()sin()]}nrrrnAnrrrrrr22[cos()sin()]nnrnAn222221[cos()sin()]}nnrnAnr2222[cos()sin()]0nrnAnzz故20（3）2211(){[cos()]}cos()nnrrrnnrnrrrrrr222221cos()nnrnr2222[cos()]0nrnzz故20（4）在球坐标系中22222222111()(sin)sinsinrrrrrr而2222112()[(cos)]cosrrrrrrrrrr2211(sin)[sin(cos)]sinsinrrr2212(sin)cossinrrr2222222211(cos)0sinsinrrr故20（5）222222112()[(cos)]cosrrrrrrrrrr22211(sin)[sin(cos)]sinsinrrr222412(sin)cossinrrr22222222211(cos)0sinsinrrr故203.14已知0y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?（1）coshyex；（2）xeycos；（3）2cossinyexx（4）zyxsinsinsin。解（1）222222(cosh)(cosh)(cosh)yyyexexexxyz2cosh0yex所以函数xeycosh不是0y空间中的电位的解；（2）222222(cos)(cos)(cos)yyyexexexxyz