电磁场理论第一章

第一章矢量分析第章矢量分析即数学中的“场论”即数学中的“场论”主要内容：主要内容：§1.1基本概念§1.2无旋场、无散场及矢量场的分解§13算子的运算§1.3算子的运算§1.4积分定理§1.5δ函数§1.1基本概念§1.1基本概念场的定义场的定义：一个物理量或数学量在空间的分布称为该物理量或数的若某域内的任意点都有学量的场。即：若对空间某一区域内的任意点，都有某个物理量或数学量的一个确定值与之对应，，则称该区域内确定了该物理量或数学量的个场区域内确定了该物理量或数学量的一个场。。数学上，场函数（自变量为空间坐标）数学上，场函数（自变量为空间坐标）场标量场（ScalarField）场矢量场（VectorField）备注：场可随时间变化但数学中的场论仅研备注：场可随时间变化，但数学中的场论仅研究其随空间的变化。§1.1基本概念§1.1基本概念等位线电力线电偶极子的静电场水流流速场§1.1基本概念§基本概念一、标量场),,()(zyxrz、标量场),,()(zyxr方向导数：标量场)(r在某点沿某方向ˆ的方向导zr点r沿某一方向的方向导数定义为该场在该点沿该方o)()(Limrr向对空间距离的变化率。oxycoscoscosLim0coscoscoszyx其中，cosα、cosβ及cosγ为的方向余ˆ其中，cosα、cosβ及cosγ为的方向余弦，即)cos,cos,(cosˆ§1.1基本概念标量场在某点的梯度为一矢量§1.1基本概念梯度：标量场在某点的梯度为矢量。其大小等于该点所有方向导数的最大梯度：值，其方向为取得该最大值的方向。)ˆd(dˆd的夹角与)gradcos(gradgrad的夹角与其中即为梯度dˆˆˆd其中，即为梯度：gradzzyyxxˆˆˆgradgradientNabla或Hamilton算子,读作“del”标量场梯度的性质标量场梯度的性质（1）标量场沿任一方向的方向导数等于梯度在（1）标量场沿任方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。ˆˆgrad标量场在任点（2）标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（备注：等值的方。（备注：等值面的法向有两个）等值面：常数)(r标量场梯度的性质标量场梯度的性质（3）一个标量场的梯度确定则该标量场（3）个标量场的梯度确定，则该标量场也随之确定，最多相差一个任意常数。对场的描述标量场其梯度场标量场其梯度场对一个标量场，可直接研究该标量场，亦可研究其梯度场；亦可研究其梯度场；对一个矢量场，若其可表为一个标量场的梯度则通常研究此标量场较为方便的梯度，则通常研究此标量场较为方便。§1.1基本概念二矢量场§1.1基本概念)()(zyxArA二、矢量场1、矢量场的矢量线表示),,()(zyxArA1、矢量场的矢量线表示矢量线是这样一些曲线：线上任意一点的切线方向线上任意点的切线方向代表该点的矢量场的方向，矢量线的密度表示该点场矢量线的密度表示该点场的大小，即垂直于矢量的单位表面所穿过的矢量线单位表面所穿过的矢量线个数代表该矢量的大小。2、矢量场的通量和散度矢场的和散度①通量①通量(,,)AxyzdSnASdAˆ可见通量为代数量ˆnSSdSnASdA可见，通量为一代数量。其正负与矢量场方向和面Sd矢积元法线的夹角有关。矢量场在曲面S上的通量可面积元矢量场面看作穿过S面的（净）矢量线数目量线数目。2、矢量场的通量和散度矢场的和散度例：水流流速场及其通量例：水流流速场及其通量。米/秒流量，立方米/秒如果S是一闭合曲面，若无特别交代，则约定S的A无特别交代，则约定S的法向量由闭合曲面内指向闭合曲面外即为外法向ˆn闭合曲面外，即为外法向。dSnASdAˆSSdSnASdA2、矢量场的通量和散度（（ⅠⅠ））0矢场的和散度表示有净的矢量线从S内流出。S內必有发出矢量线的源或正源。0（（ⅡⅡ））S內必有发出矢量线的源或正源。表示有净的矢量线流入S。S內必有收集矢量线的汇或负源0（（ⅢⅢ））必有收集矢量线的汇或负源。0表示没有矢量线出入S或流出和流入S的矢量线数目相等无源流入S的矢量线数目相等。无源或正负源代数和为零。2、矢量场的通量和散度矢场的和散度这种能发出或汇集矢量线的源称为通量源。对②散度这种能发出或汇集矢量线的源称为通量源。对应的场称为具有通量源的场，简称通量场。②散度矢量场在某点的散度定义为矢量矢量场在某点的散度定义为矢量场在该点单位体积表面的通量。ˆSdAnVSdAAdivSV0LimVSAAAAVzyxdivergencedivergenceAzyx2、矢量场的通量和散度矢场的和散度散度是空间坐标的函数，表示空间各点的通量源散度是空间坐标的函数，表示空间各点的通量源密度。0divA0divA0divA2、矢量场的通量和散度③Gauss散度定理矢场的和散度③Gauss散度定理SdAdVASVSdAdVA若令为SdAA若令V为∆V→0SSdAVASdAVSdAAS因此，Gauss定理实际上是将任意点的散度定义所规定的散度与通量的关系推散度定义所规定的散度与通量的关系推广至任意区域。2、矢量场的通量和散度矢场的和散度【证】：iiiVVVAdVAi)0max()(LimiSdASdALim由积分定义SiSVSdASdAii)0max(Lim由散度定义V内相互抵消VΔSS由散度定义V内相互抵消ΔS1ΔS2e2e1体积的剖分en2en12、矢量场的通量和散度矢场的和散度④平面矢量场的通量和散度④平面矢量场的通量和散度yyxAxyxArAyxˆ),(ˆ),()(nˆdnAˆ通量：nˆ散度：ΔSdnAAdivˆLimˆnAAASyxS0SGaussGaussAyxtyxSGaussGauss定理定理：dnAdSAStˆ3、矢量场的环量、涡量及旋度3、矢量场的环量、涡量及旋度①环量矢量场沿某一闭合曲线的线积分，称为该①环量矢量场沿某闭合曲线的线积分，称为该矢量场沿此闭合曲线的环量。dA例：若为力，则Г为功；若为，则Г为电动势。AAEB则为电动势若Г≠0，回路中必有产生这种场的旋涡源例静磁场BI⊙场的旋涡源。例：静磁场。3、矢量场的环量、涡量及旋度3、矢量场的环量、涡量及旋度②涡量（或环量面密度）②涡量（或环量面密度）nˆdAΔSPSdAS0LimΔSSS0称为矢量场在P点A保持不变，ΔS垂直于，和的nˆnˆnˆ称为矢量场在P点绕方向的涡量。nˆA方向符合右手法则。nArotˆ3、矢量场的环量、涡量及旋度③旋度3、矢量场的环量、涡量及旋度矢量场在某点的旋度为一矢量。其大小为该③旋度点涡量的最大值，其方向为使得该点涡量取最大值的方向。zyxˆˆˆAzyxArotAAAzyxzyxrotation3、矢量场的环量、涡量及旋度3、矢量场的环量、涡量及旋度④StokesStokes定理定理nˆ④StokesStokes定理定理dASdA)(S若令S为∆S→0S)(ˆdASnAˆ)(备注：以为dAnAˆ)(备注：以为底的S形状可任意变化。Stokes定理实际上将在任意点涡量或旋度定义所SnA)(Stokes定理实际上将在任意点涡量或旋度定义所规定的与环量的关系推广至任意曲面或闭合回路。3、矢量场的环量、涡量及旋度【证】：（作业）3、矢量场的环量、涡量及旋度【证】：作大小相等大小相等方向相反相互抵消相互抵消3矢量场的环量涡量及旋度3、矢量场的环量、涡量及旋度⑤⑤平面矢量场的环量、涡量及旋度平面矢量场的环量、涡量及旋度环量涡量及旋度的定义与三维情形相同⑤⑤平面矢量场的环量、涡量及旋度平面矢量场的环量、涡量及旋度环量、涡量及旋度的定义与三维情形相同。限制：dS=dxdy，，。znˆˆzˆˆStokes定理：dAdSzAStˆ)(S4、矢量场的场源(小结)通量源能发出或汇聚矢量线使得矢量线发4、矢量场的场源(小结)通量源：能发出或汇聚矢量线，使得矢量线发生中断或不连续。其分布或密度可由散度这一标量描述空间任意点的散度等于矢量场在该标量描述。空间任意点的散度等于矢量场在该点单位体积所对应表面的通量。旋涡源：能使矢量线具有涡旋特性。其分布或密度可由旋度这一矢量描述。任意点的旋度在度旋度矢描任点的旋度在某个方向的投影或分量等于矢量场沿该点垂直于该方向单位面积所对应的闭合曲线的环量。矢量场是否还有其它场源矢量场是否还有其它场源4、矢量场的场源(小结)4、矢量场的场源(小结)00FF00FF0,0FF0.0FF00FF00FF0,0FF0,0FF§1.2无旋场、无散场及矢量场的分解场及矢量场的分解一无旋场一、无旋场定义：定义若矢量场A在区域V内，旋度处处为零即0A则称A为旋度处处为零，即0A，则称A为V内的无旋场；沿任意闭合回路的环量为零，即0dA则称A为V内的保守场0dA，则称A为V内的保守场；可表为A则称A为V内的有势可表为A，则称A为V内的有势场。性质：（1）有势场保守场；性质（）有势场保守场；（2）有势场无旋场0)(0)(（3）若V曲面单连通区域，无旋场有势场曲面单连通：对区域V内任何一条简单闭曲线均可作出个以为边界且全部位于线，均可作出一个以为边界且全部位于V内的曲面S，即V内任一闭合回路均可收缩为一点。0)(VSVSdAdA例：曲面单连通区域例：曲面单连通区域球体体空心球体，是。环面体，不是。§1.2无旋场、无散场及矢量场的分解场及矢量场的分解二无散场二、无散场定义：若矢量场A在区域V内散度处处为零定义：若矢量场A在区域V内散度处处为零，即0A，则称A为V内的无散场或管形场。为何称为管形场3ˆn矢量管：矢量线构成的管形曲面3S构成的管形曲面（矢量线与矢量管的侧面重合）1S2S1ˆn2ˆn管的侧面重合）。§1.2无旋场、无散场及矢量场的分解场及矢量场的分解对于无散场有0dVASdA对于无散场，有321SSSSV0ˆˆˆ321dSnAdSnAdSnA321321SSS21ˆˆSSdSnAdSnA2121SS无散场在矢量管任意横截面上的通量相等。例：水在无散的流速场中的流动例：水在无散的流速场中的流动。性质：性质（1）若矢量场A在区域V内可表为BAA为无散场。0)(B)(备注：B不唯一，)(BA。（2）若V为空间单连通区域A为无散场（2）若V为空间单连通区域，A为无散场A可表为BA。空间单连通：V内任何一条简单闭曲面S所包含的全部点均位于V内，即V内没有“洞”。包含的全部点均位于V内，即V内没有洞。例：空心球体，不是。环面体，是。关于Stokes定理的思考题§1.2无旋场、无散场及矢量场的分解场及矢