2.1外测度与测度

山东农业大学数学系于瑞林第二章Lebesgue测度从本章开始，我们将逐步介绍实变函数理论的核心内容——Lebesgue测度与积分．19世纪的数学家们已经意识到仅有连续函数与积分的古典理论已经不足以解决数学分析中的许多问题．为克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义．大家知道，对于[,]ab上的正值连续函数()fx，其积分的几何意义是平面曲边梯形(){(,):[,],0()}Gfxyxabyfx的面积．因此，积分的定义以及一个函数的可积性，是与相应的下方图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关．从这一角度看问题，过去我们所说的不可积函数f，就反映在平面点集()Gf的“面积”不存在的问题上．于是，如果我们想要建立能够应用于更大函数类的新的积分理论，自然希望把原有面积概念加以推广，以使更多的点集能够具有类似于面积性质的新的度量．总之，我们希望对于一般的n中的点集E给予一种度量，它是长度、面积以及体积的概念的推广．如果记点集E的这种度量为()mE，那么自然应要求它具有某些常见的性质或满足一定的条件．此时，称度量()mE为E的测度，以1为例，我们提出条件：（1）()0mE；山东农业大学数学系于瑞林（2）可合同的点集具有相同的测度；（3）若12,,,,nEEE是互不相交的点集，则11()()iiiimEmE．条件（3）称为可数可加性，正是这种可数可加性使建立在测度论基础上的积分有了新的功能．§2．1外测度与可测集教学目的本节在集合外测度的基础之上，结合Caratheodory条件，构造出一个重要的测度，即欧氏空间n上的Lebesgue测度．Lebesgue测度的建立，为定义Lebesgue积分打下基础．本节要点利用外测度的定义和Caratheodory条件，可以较快的构造出Lebesgue测度．进过验证，Lebesgue测度具有基本的运算性质．同学们应利用较多的例题，习题和几何直观逐步加深对Lebesgue测度的理解．大家知道，用古典积分计算下方图形()Gf的面积，基本上是从其内部小矩形的面积出发来逐步进行计算的．显然，这种计算方法只是对具有内点的点集有效．为了对一般点集也能度量出某种“面积”来，我们放弃从点集内部扩张的做法，而从其外部挤压的方针，即用矩形去覆盖点集．然后来计算这些矩形的面积总和．当然，这种覆盖方式多种多样．一般说来，这样的覆盖所盖住的点集要比原点集的“面山东农业大学数学系于瑞林积”大．因此，在这里，取一切这种覆盖所求出矩形面积总和的下确界来代表它的某种度量是很正常的．另外还有一个问题：每次覆盖所用的矩形是多少个？若只允许有限个，则由此建立的度量就是所谓的Jordan容度．这种度量在数学史上占有一定地位，但因有严重缺陷而被改造．也就是说，现在采用的覆盖，允许有可数个矩形参加．这一革命性举措正是Lebesgue所创，使得由此所建立的点集的度量理论呈现崭新的面貌，也使Lebesgue积分论称为进入现代分析的大门．一．外测度的定义1.方体的体积我们将要定义的Lebesgue测度是熟知的长度，面积和体积概念的推广，因此我们先对n上的方体的体积作一些规定．设I是直线上的一个有界区间(开的，闭的或半开半闭的)，用I表示区间I的长度，即I的右端点与左端点之差．若I是无界区间，则规定I．又规定空集也是区间，并且0．设12,,,nIII是直线上的n个区间．称n的子集12nIIII为n中的一个方体．若12,,,nIII都是开区间，则称I为n中的开方体．类似可定义n中的闭方体和半开半闭方体．设12nIIII为n中的一个方体，称1nIII为I的体积．2.外测度山东农业大学数学系于瑞林定义1设En，iI是n中覆盖E的任一列开长方体，即1iiEI，记1iiuI（u可以取+），显然所有这样的u构成一个有下界的数集，则它的下确界称为E的Lebesgue外测度，记为*mE，即11*inf{,,iiiiimEuuIIEI为开长方体}．注①根据外测度的定义可知，任意En都有外测度；②定义1中并没有限制E是有界集，所以*mE可能取+．二．外测度的性质定理1外测度具有如下性质：（1）对任意nE，都有*0mE，且*0m（非负性）；（2）设nBA，则**mBmA（单调性）；（3）设niA，则11*()*iiiimAmA（次可加性）；（4）设,nAB，若(,)0AB，则*()**mABmAmB（隔离性）．证明（1）显然成立．下面只证（2）（3）（4）．（2）因为对任意覆盖A的开长方体列iI，即1iiAI，由于BA，所以1iiBI，从而有1*iimBI，且*mB1inf*iiImA，1iiAI．山东农业大学数学系于瑞林(3)由外测度的定义知，对任意给定的正数，存在覆盖iA的开长方体列()imI使得()1*,1,2,2imiimImAi显然()111()imiimiIA，且()()111111()(*)*2iimmiiiimimiiIImAmA，所以()1111*()*iimiimiimAImA．（4）仅在1上证明．对任意0，存在开区间列nI，使得1nnABI，并且1*()nnImAB．根据已知条件(,)0ABd，若nId，则nI保留；若nId，则用分点将nI分成有限个小的开区间12,,kJJJ，使得(1,2)iJdik，并且各分点再用1k个长度小于d的开区间121,kLLL盖住，使得11/2kniiL，用上述得到的1,kJJ及11,kLL代替nI，显然1112kkiinniiJLI，把改造后的开区间列记为mK，则11nmnmABIK，且111*()22mnnmnnkImAB．山东农业大学数学系于瑞林由于,mmKdK中任何mK不可能同时含有,AB中的点，所以把mK分为两类，含有A中点的mK作为一类记为nK，含有B中点的mK作为一类记为nK，则nAK，nBK所以***'1()2nnmmmAmBKKKmAB，再让→0得***()mAmBmAB，证毕．例1设E为[0，1]中的全体有理数，则*0mE．证明因为E为可数集，故记12{,,...,,...}nErrr，现对任意0，取11,22nnnnnIrr，1,2,n．显然1nnEI，且110*2nnnnmEI，令0得*0mE，证毕．思考题若E为n中的可数点集，则*mE？例2若*0mA，则对任意nE，总有*()mEA*mE．证明由外测度的性质（2）、（3）得**()***mEmEAmEmAmE，所以**()mEAmE．例3对任何区间nI，总有*mII．证明Step1证明*mII．山东农业大学数学系于瑞林对任意0，存在开矩形I，使得*II，且有|*I||I|+，由外测度的定义知**mIII，再让0，于是得*mII．Step2证明*mII．对任意0，作闭矩形0I，使得0II，且|I||0I|+2．又由外测度的定义知对上述0I及，存在开矩形列iI使0I1iiI，且01||*2iiImI，由Borel有限覆盖定理知，在{iI}中存在有限多个开矩形，不妨设为1,,kII，使得0I1kiiI，所以01kiiII，从而02II1||2kiiI1||2iiI0*2mI20**mImI，让0，得*ImI，故*ImI，证毕．思考题若I为无穷区间，如何证明?注在例3的证明中，根据外测度的定义，用到了以下两条：①对于E的任一开方体覆盖{}nI，有1nnmEI．②对任意0，存在E的一个开方体覆盖{}nI，使得1nnImE．这两条在证明点集的测度问题时常常用到，必须注意．从例3中可以得知，我们所定义的集合的外测度是“体山东农业大学数学系于瑞林积”（“长度”、“面积”）的一种拓广，这种拓广是否为通常意义下“体积”的拓广呢?在通常意义下，有体积的集合有这样一个性质:“对两个有体积的不交集合,AB，总有AB的体积=A的体积+B的体积，即体积具有可加性”，对外测度而言，当(,)0AB时，***()mABmAmB，但仅当AB且(,)0AB时，有例子可以说明*()mAB*mA*mB并不一定成立，这说明对一般集合而言外测度并非通常意义下“体积”的拓广．要想做到这一点，必须对所考虑的集合作一些限制（正如通常意义下并非每个集合都有体积一样）．二．可测集及其性质外测度就是相当于用外切多边形面积来近似圆面积．那么，人们自然会想到用圆内接多边形面积来近似圆面积的方法．Lebesgue根据这一思想提出了“内测度”概念，如内外测度相等就称为Lebesgue可测，且外测度即为Lebesgue测度．但是测度的这一定义，使用起来很不方便（同时出现内外两种测度，有界、无界要区别对待等）．因此，我们采用一种在理论上运用很广泛的定义方法——德国数学家C·Caratheodory给出的定义．1．可测集的定义及等价条件定义2（Caratheodory条件）设nE，如果对任意nT总有山东农业大学数学系于瑞林*mT=*()*()cmTEmTE(2.1)（图2-1），则称E为Lebesgue可测集，或称E是可测的，此时E的外测度*mE称为E的Lebesgue测度，记为mE．注与外测度不同，并非每个集都是可测的，即不是任何集合都有测度．图2-1卡氏条件下面用一个定理给出可测集的等价条件．命题1设nE，则下列两种说法是等价的（1）E是可测集；（2）对任意,cAEBE，总有*()**mABmAmB．(2.2)证明先证“”，若E可测，则对任意,cAEBE，令TAB，则有*()**(())cmABmABEmABE**mAmB，再证“”，对任意nT，令,ccATEEBTEE．因为TAB，所以有山东农业大学数学系于瑞林**()**mTmABmAmB*()*()cmTEmTE从而E为可测集，证毕．2.可测集的基本性质有了可测集的定义后，我们就要来讨论两个基本问题：①具体的哪些集合是可测集？②可测集具有哪些性质？定理1（可测集的基本性质）（ⅰ）设nE是可测集当且仅当cE是可测集；（ⅱ）若*mE=0(即E为零测集)，则E可测；（ⅲ）,n是可测的．证明（ⅰ）事实上，若E可测，对任意nT，总有**()*()cmTmTEmTE，对任意nT，有**()*()cccmTmTEmTE（）cE可测．（ⅱ）若*mE=0，则对任意nT，有()0mTEmE，于是由()()CmTmTEmTE及()CmTEmT，知**()*()cmTmTEmTE，即E可测．山东农业大学数学系于瑞林定理2若12,EE都可测，则1212,EEEE，12\EE也可测．证明对于nT，如图2-2示图2-2集合T的分解T=1221((\))(\)TEETEE1212()\()TEETEEABCD因为11,cACEBDE，而1E可测，由命题1（2）得***()()mTmABCDmACBD**()()mACmBD同理***()()