【阳光学习网精选】中考数学复习热点八：方案设计题

全国领导的中小学生在线一对一辅导平台家长看得见的辅导|免费试听，满意再学|100%一线在职教师-1-中考数学热点八方案设计题【热点分析】方案设计问题是指解决问题的方案决策问题。同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种。随着课程改革的全面展开和逐步深化,有利于考察学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点.方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,有利于培养学生重视动手操作和实践活动,更为重要的是能够让学生养成用数学的意识。方案设计问题就其解决的方法和所具备的数学知识而言，主要涉及到几何、函数、方程、不等式以及概率等。其主要特征大多是要求在众多的可行性方案中确定最佳的方案，尤其是利润最大、成本最低最为突出。解决方案设计问题一般要经历阅读，了解问题的背景和要求；观察，结合生活经验寻找问题的等量与不等量关系；建模，应用数学知识将问题转化为数学问题；解模，求解相关的数学问题；作答，根据实际意义，对所获得的结论进行归纳、探索和比较，确定符合题目要求的最佳方案。①探究解题新思路题型一、利用不等式进行设计典例1（2008·重庆）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为了使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【研析】：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．由题意，得280220abab，．解得180100ab，．故这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨；（2）由题意，得12022025xxx≤，．解得4045xx≤，．即40＜x≤45．全国领导的中小学生在线一对一辅导平台家长看得见的辅导|免费试听，满意再学|100%一线在职教师-2-因为x为整数，所以x的取值为41，42，43，44，45．因此，这批赈灾物资的运送方案有五种，具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（3）设运送这批赈灾物资的总费用为W元．由题意，得W=220x+250（100-x）+220（x-20）+200×60+210×20=-10x+60800．因为W随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x=41时，W有最大值，此时该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：W=60930（元）．【方法点拨】：利用不等式（组）进行方案设计的一般思路是根据题目的不等量关系建立不等式（组）模型，解不等式（组），然后在此范围内确定各种符合条件的方案。【变式·拓展】1（2008·怀化）5．12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．（1）设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．解：(1)因为租用甲种汽车为x辆，则租用乙种汽车（8-x）辆．由题意，得42830,38820.xxxx≥≥解之，得.5447x又x为整数，所以x=7，8。即共有两种租车方案：第一种是租用甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；第二种是全部租用甲种汽车8辆；（2）第一种租车方案的费用为7×8000+1×6000=62000（元—）；第二种租车方案的费用为8×8000=64000（元）。所以第一种租车方案最省钱。题型二：利用一次函数进行设计典例2（2008·双柏）我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．全国领导的中小学生在线一对一辅导平台家长看得见的辅导|免费试听，满意再学|100%一线在职教师-3-（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种ABC每辆汽车运装量（吨）2.22.12每吨水果获利（百元）685（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．【研析】：（1）由题意，得2.2x+2.1y+2（30-x-y）=64，所以y=-2x+40，又x≥4，y≥4，30-x-y≥4，所以14≤x≤18；（2）Q=6x+8y+5（30-x-y）=-5x+170，因为k=-5＜0，所以Q随着x的减小而增大，又14≤x≤18，所以当x=14时，Q取得最大值，即Q=-5x+170=100（百元）=1万元。因此，当x=14时，y=－2x+40=12，30-x-y=4，所以，应这样安排：A种水果用14辆车，B种水果用12辆车，C种水果用4辆车。【概括归纳】：利用一次函数解决利润最大或成本最低问题的基本方法是建立相关变量之间的函数关系，确定自变量的取值范围，再由一次函数的增减性确定最大值或最小值。【变式·拓展】：2（2008·临沂）某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。（1）求y关于x的函数关系式？（2）如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）解：（1）y=（63-55）x+（40-35）（500－x）=2x＋2500，即y=2x+2500（0≤x≤500）；（2）由题意，得55x+35（500-x）≤20000，解这个不等式，得x≤125，∴当x=125时,y最大值=3×12+2500＝2875(元)，∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元.题型三：利用二次函数设进行计典例3在前往汶川抗震救灾的道路上，许多路段被大量的山体滑坡严重阻碍，前往救援的先遣部队在清理一处塌方路段时发现，该处山体塌方足有9000方（1方等于1立方米），如果用一台挖掘机，每小时可清除66方，但这样需要100多个小时才能完成。时间就是生命，为了争取尽快完成塌方清理任务，指挥部决定增派挖掘机，但由于路面条件的限制，每多一台挖掘机参加挖掘，每台挖掘机每小时就要减少清除6方。为了能够在最短时间内完成该路段的清理任务，应增派几台挖掘机？最短能在几小时内完成？（精确到1小时）【研析】：设增派x台，用y小时可完成任务，则共有（x+1）台挖掘机，每台的工作效率是每小时能清除（66-6x）方，依题意，得y=90001666xx，品牌AB进价（元/箱）5535售价（元/箱）6340全国领导的中小学生在线一对一辅导平台家长看得见的辅导|免费试听，满意再学|100%一线在职教师-4-显然，当（x+1）（66-6x）取最大值时，y取最小值。设S=（x+1）（66-6x）=-625x+216，当x=5时，S最大值=216，此时，y最小=9000216≈42（小时）。因此，应增派5台挖掘机，最短能在42小时内完成。【领悟整合】：利用二次函数的知识进行方案设计与利用一次函数的知识进行设计的思路相差无几，关键也是在于建立有关变量之间的函数关系式，确定自变量的取值范围，利用二次函数的增减性确定最大值或最小值，所不同的二次函数多了个“最值”可以应用。【变式拓展】：3（2008年青岛市中考题）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？解：从图象可见，销售价每提高，销售量就减小，所以此类问题也是每每型问题。（1）设y=kx+b，由图象知其图象经过点（60，400）和（70，300），所以6040070300kbkb，解得k=-10，b=1000，所以y=-10x+1000；（2）P=（x-50）y=（x-50）（-10x+1000）=-102x+1500x-50000，配方，得P=-10275x+6250，由于当x＜75时，y随x增大而增大，而x最大为70，故当x=70时，y最大值=60000。注意：这里的自变量x因受到限制，所以不能用二次函数的最大值公式求解，也就是说x的取值不能达到75。类似之类的问题在区别不同情况最大值或最小值时应利用二次函数的增减性。题型四：利用概率大小进行设计典例4星期天7点到7点30分，张老师带几个学生准备乘坐从家门口经过的公交车去某风景区游玩，老师告诉学生：在这个时间段里都有三辆公交车通过，这三辆公交车按舒适度可划分为上等车、中等车和下等车（票价相同），它们每天开出的顺序都是随机，你们谁也不知道这三辆车的舒适程度，也不知道今天各种车开过来的顺序．大家想一想：采用什么样的乘车方案，可以让我们乘到上等车的可能性大些？几个同学议论纷纷。甲提出的方案是：无论如何总是上开来的第一辆车；乙提出的方案是：先观察后上车，当第一辆车开来时仔细观察一下车的舒适状况，不管如何总是不上，等第二辆开来时，再观察一下车况，如果第二辆车的状况比第一辆好，那就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，4003006070Ｏy(件)x(元)全国领导的中小学生在线一对一辅导平台家长看得见的辅导|免费试听，满意再学|100%一线在职教师-5-那就等第三辆车；你认为甲、乙两人所提的方案中，哪一种方案乘到上等车的可能性大些？为什么？【研析】：分别计算两人乘到上等车的概率。三种车出现的先后顺序共有：｛上中下｝，｛上下中｝，｛中上下｝，｛中下上｝，｛下上中｝，｛下中上｝六种；把各种车出现的先后顺序及甲、乙两人可能乘坐的车种列成下表：顺序甲乘的车种乙乘的车种上、中、下上下上、下、中上中中、上、下中上中、下、上中上下、上、中下上下、中、上下中从表中可见：甲方案乘到上等车的概率为26