1.2.3导数的计算1-复合函数的导数

1.2.3导数的四则运算及复合函数的求导法则复习:1.基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则1.()()()()fxgxfxgx2.()()()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()3.(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx2.导数运算法则()()cfxcfx特殊地：4.21),yx＇巩固训练:1求下列函数的导数（求y4解　y=2x41(4)x=２42()x＇＇y58x2,yxx＇求y32解　y=x311223322xx＇y(3)y=(2x2+3)(3x-2)，求y’22'(23)(32)'(23)'(32)yxxxx解2(23)34(32)xxx21889xx326496yxxx另解21889yxx＇(4)y=(1-sinx)(1+sinx),求y’(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)yxxxx＇＇＇解　cos(1sin)(1sin)cosxxxx2sincossin2xxx2'cos,2cosyxyx错解ln,xyyx＇ｘ＝１(5)　求(ln)x＇＇＇２ｘ－lnx(x)解　ｙ＝ｘ２１ｘ－lnx１ｘ＝ｘ２１－lnx＝ｘy＇ｘ＝１　＝１sin()cosxyx＇＝2coscossin(sin)cosxxxxx21cosx221tan=secx.cosxx（）6tan,yx＇　求ysincosxyx解　'2)cossin(cosx)cosxxxx＇（sin三角函数的求导公式2(tan).secx'x.cos)(sinx'x2(cot)sc.cx'x.sin)(cosx'x(7)求函数的导数233xyx222)3(36'xxxy2..,.1%:528480100.100,:190%;298%.xcxxx日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水纯净度的提高所需净化费用不断增加已知将吨水净化到纯净度为时所需费用单位元为求净化到下列纯净度时所需净化费用的瞬时变化率解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.)'1005284()('xxc2)100()'100(5284)100('5284xxx2)100()1(5284)100(0xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90(')1(2c因为1321)98100(5284)98(')2(2c因为新课1.复合函数现象1)x③y=sin(3e2y=u,u=2x+12y(21)x①ln,2yuuxln(2)yx②sin,31,xyuuvve象①②③这样的函数就是复合函数.2.复合函数的定义对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，:[()].yfgx记作练习：将复合函数分解成最简单函数1(1)2xy(2)sin(ln1)yx(1)2,1.uyux解(2)sin,1,ln.yuuvvx.xuxyyu(1)[()](),g().yfgxyfuux那么3.复合函数的求导法则(2)(),g(),().yfuuvvhx那么'.xuvxyyuv即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)例1求下列函数的导数2(1)(23)yx22(1)(23)23yxyuux解：函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有2'''()'(23)'xuxyyuux224812.uux0.051(2)xye0.051(2)0.051xuyeyeux解函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有'''()'(0.051)'uxuxyyuex0.0510.050.05uxee))(sin()3(均为常数，其中xy(1)sin()sinyxyuux解：函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有'''(sin)'()'xuxyyuuxcoscos()ux解y=etanx可以看成是由y=eu，u=tanx复合而成，所以xuuxuxxuyy)(tan)e(2tan2esecesecuxxx例2设y=etanx，求y.复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.例3设22cos3,yx求y＇解因22cos3yx是由y=2cosu,23xｕ＝复合而成的所以22sin()24sin(3)yxxxx＇＇＇２ｕｘｙｕ３解1lntan2tan2tan2yxxx21142tan2cos2sin4xxxx例4设求ylntan2yx若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.练习1.设f(x)=sinx2，求f(x).解22()cos()xfxxx22cosxx练习2..)1(2'xx计算解xxxx'xx21211)1(222.11222xx练习3.,exxy设求y.解xxxxxxy)e()e(2121xxxxxx)e()()e(2121xxxxx)(e1)e(2121).e1()e(2121xxx解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.2222)1()1(1)(xxxxxy222112211xxxxx.)1(1)1(1)1(2322222xxxxx练习4.,求y.21xxy设练习5.设y=sin(xlnx)，求y.解先用复合函数求导公式，再用乘法公式y=cos(xlnx)·(xlnx)=cos(xlnx)·(x·(lnx)+xlnx)=(1+lnx)cos(xlnx).练习6..)sin(sin'nxxn计算解'nxxn)sin(sinnnxxnxxxnnncossinsincossin1)cossinsin(cossin1nxxnxxxnn.)1sin(sin1xnxnn（1）运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。（2）求导后必须把引进的中间变量代换成原来自变量的式子，熟练后可不必写出中间变量，直接：“由外向内、逐层求导”。小结：作业：求下列函数的导数（1）（2）5)35(xy4')35(25xy)32sin(xy)32cos(2'xy（3）322xey（4）)12(log3xy3ln)12(2'xy3224'xxey