1.2.3简单复合函数的导数

为常数）(x)x)(1(1'1)a0,lna(aa)a)(2(x'x且1)a,0a(xlna1elogx1)xlog)(3(a'a且'(cosx)sinxx'x(e)e'1(lnx)x'(4)(sinx)cosx基本初等函数求导公式:).()(])()([xgxfxgxf)).((])([为常数CxfCxCf).()()()(])()([xgxfxgxfxgxf)()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中)(ufy)(xu)]([xfy1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．（法2）将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下，两个导数相乘，得解:(法1)∵y=(3x-1)2∴y=[(3x-1)2]=(9x2-6x+1)=18x-6=3×2(3x-1).例：求函数y=(3x-1)2的导数的两种方法与思路。232yx2yu32ux2()2,(32)3uxyuuux232(32)31812uxyuuxx'''xuxyyu从而有：即:对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.2.复合函数的导数:'''(?)(?) .xuxuxxuxxuxyfuxuyfuyyufxfuyfxxx设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且或3.4.?—————:复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中复合函数的求导法则复合函数求导的基间变量对自变量的导数.：分解求导本步骤是相乘回代．例1.求下列函数的导数.(1)y=(2x－3)3(2)y=ln(5x+1)22:(1)3(23)(23)6(23)yxxx解15(2)(51)5151yxxx=1(3)331yyxx(4)=:(1)sin(12)(12)2sin(12)yxxx解55(2)4(13)(13)12(13)yxxx=求下列函数的导数.(1)y=cos(1－2x)(2)y=(1－3x)－412(3)[(31)]3(31)yxx1211(4)(3)(1)223yxx感悟!先将待求导函数尽可能化成基本初等函数形式或简单复合函数的形式,再依据求导公式或求导法则进行解题.0001.:3(,)3,(,0),3.CysinxcosxPxyxCP曲线在点处切线的斜率为其中求在点处的切线方程00002(),'2()333(),(,0),323,1,(,1),66:13().6ysinxycosxcsoxxxyPlyx解:练习2.是否存在直线l,使得l与曲线C1:y＝x2,C2:y＝－(x－2)2都相切,若存在求直线l的方程,若不存在,试说明理由.解.假设存在:设C1切点为(x1,x12),C2切点为(x2,－(x－2)2).121122121221222(2)02(2)220xxxxxxxxxxx或:0:440lylxy或3.5yx已知曲线,求:(1)曲线上与直线y=2x－4平行的切线的方程.(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线的方程4.已知曲线C:y＝3x4－2x3－9x2＋4,求过曲线C上点(1,－4)的切线与曲线C的交点坐标.若y=f(u),u=ax+b,则yx=yu·ux即yx=yu·a.结论: