学而思奥数2016秋季班提高班第5讲讲义

四年级秋季提高班第5讲作业等积变形作业1如图，大小两个正方形摞在一起，已知大正方形的边长为20厘米，小正方形的边长为16厘米，求阴影三角形的面积．ABCEFGD【答案】连接BD，发现BDGE∥，由平行线同的等积变形知，GDEGBESS△△，所以阴影部分面积等于大正方形的一半，即20202=200（平方厘米）.作业2如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点O，已知12AB厘米，9EF厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？GOFEDCBA【答案】72平方厘米【分析】连接DF，CF；由于EF∥CD，由平行线间的等积变形知，DBODPOSS△△，所以阴影部分面积等于三角形BFD的面积，又因为CFBD∥，所以三角形BDF的面积等于三角形BCD的面积，也就是阴影部分面积等于大正方形面积的一半，即12122=72（平方厘米）.作业3如图，已知三角形ABE的面积为1平方厘米，BCBE，ADAB，求三角形DCB的面积.BACDE【答案】2平方厘米【分析】因为BCBE，ADAB，所以=ABEADESS△△，=BDEBCDSS△△所以三角形DCB的面积为112DBCDBEABEADESSSS平方厘米.作业4如图：在三角形ABC中，22DFADFC，2BEEC，已知三角形DEF的面积是10，求三角形ABC的面积是多少？FEDACB【答案】60【分析】由2DFFC知三角形EFC面积为1025，故三角形DEC面积为15；而2BEEC，有三角形BDC面积为15345；得三角形ABC面积为453460.作业5如图，三角形ABC的面积是45，BC是CD的5倍，AE是CE的2倍，那么三角形CDE的面积是多少？EDCBAEDCBA【答案】3【分析】如右图，连接BE．5BCCD，所以5BCECDESS△△，又3ACCE，所以315ABCBCECDESSS△△△，45153CDES△.复习巩固作业1四年级九个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？【答案】8；36【分析】每个班要进行8场，一共要进行89236场比赛．作业2数一数，下面的图形中有多少个包含“★”的长方形？★【答案】36【分析】左上方的点有4个，右下方的点有9个，4936个．作业3计算：99991111【答案】11108889【分析】原式=(100001)111111110000111111108889四年级秋季提高班第5讲练习册答案等积变形同步练习1．3.18如图，连接AE，BD.因为AD∥BC，则：PDCPDBSS△△，又AB∥ED，则：EADEBDSS△△，所以，6.362EPDPDCEPDPDBEDASSSSSS△△阴影△△△3.18（平方厘米）ABCDEFPPFEDCBAEDCBAEDCBADCBA2．阴影部分可等积变形为两个直角三角形DCG与BCE，面积为12560平方厘米．ABCDEFGMN3．4连接AF、CE．因为ADEACESS△△；CDFACFSS△△；又因为AC与EF平行，所以ACEACFSS△△，4ADECDFSS△△平方厘米．ABCDEF4．6因为F是AC的中点，所以2ABCABFSS△△，同理2ABFBEFSS△△，故486246BEFABCSS△△(平方厘米)．5．54122318BFDS△，182327ABDS△，27254ABCS△．6．40平方厘米ABD△与ABC△等高，BDDC，有180290ABDS△(平方厘米)．同理有903260ABES△(平方厘米)，603240AFES△(平方厘米)．即三角形AEF的面积是40平方厘米．深化练习7．31连接DE、EC，根据等积变形可知，阴影部分的面积等于三角形CDE的面积，即直角梯形减去两个直角三角形的面积．梯形面积：(57)(64)260，三角形ADE面积：56215，三角形CEB面积：74214，所以阴影部分的面积为：60151431．AQEBPDMC8．441平方厘米连接DB、GE、FH，根据等积变形可知阴影部分的面积等于中间大正方形的面积，为2121441平方厘米．9.（1）连接BE，31030AEBS△，304120ABCS△.（2）连接CE，313BCES△，339BDES△.实战练习10.连接BF，根据等高模型，8EFBS△，8CFBS△，所求面积是888248（）．FDCBEA四年级秋季提高班第5讲等积变形例1（1）已知长方形ABCD中，8AB，5BC，求三角形ABE的面积．EDCBA（2）如图，正方形ABCD的边长为18，8BE，求三角形AEF的面积．FEDCBA（3）如图，正方形ABCD的边长为18，4AE，求阴影部分的总面积．ABCDEF【答案】（1）20；（2）72；（3）126【分析】（1）可以过E作三角形的高，高与BC等长；也可以利用等积变形将E点移动至C点；（2）ADBC∥，所以ABFDBFSS△△，此时AEFDBESS△△，面积为818272（如果想更直观一些，可以将三角形DBE再次等积变形为直角三角形CBE）．（3）(184)182126．【随堂练】如图，平行四边形ABCD，底为10，高为6。则阴影部分面积是多少？DCBADCBADCBADCBADCBA【答案】106230拓展1四边形ABCD是直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米．连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是________平方厘米．ABCDEFPPFEDCBAEDCBAEDCBADCBAABCDEFPPFEDCBAEDCBAEDCBADCBA【答案】3.18【分析】如图，连接AE，BD．因为ADBC∥，则：PDCPDBSS△△，又ABED∥，则：EADEBDSS△△，所以，6.362EPDPDCEPDPDBEDASSSSSS△△阴影△△△3.18（平方厘米）．拓展2如图，正方形ABCD的边长为12cm，正方形CEFG的边长为5cm，求阴影部分的面积．NMGFEDCBAABCDEFGMN【答案】60平方厘米【分析】阴影部分可等积变形为两个直角三角形DCG与BCE，面积为12560平方厘米．拓展3如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果三角形ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．FEDCBAABCDEF【答案】4【分析】连接AF、CE．因为ADEACESS△△；CDFACFSS△△；又因为AC与EF平行，所以ACEACFSS△△，4ADECDFSS△△平方厘米．例2（1）如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排放置，B、C、E在同一条直线上，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？GFEDCBA（2）如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H，已知6AB厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？HGFEDCBA【答案】50平方厘米；18平方厘米【分析】（1）连接CF，那么CF平行BD，所以，阴影面积等于三角形BCD的面积，即10102=50平方厘米．（2）连接DF、FC，根据平行线间的等积变形，DHGDHFSS△△，同理BDFBDCSS△△，阴影的面积为66218平方厘米．GFEDCBA第一题的图ABCDEFGH【随堂练】1.ABCD和CEFG均为正方形，AB=6cm,CE=2.5cm,则阴影部分面积是多少GFEDCBA【答案】22.5627.5()cm2.ABCD和CEFG均为正方形，AB=10cm，CE=4cm，求阴影部分面积。GFEDCBA【答案】21010250()cm3.ABCD和CEFG均为正方形，AB=10cm,CE=4cm，求阴影部分面积。HGFEDCBA【答案】24428()cm练一练此图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积是多少？4BCAD4BCA【答案】8平方厘米【分析】如下图，连接AD，可以看出，ADBC∥，所以24428cmABCBCDSS△△例3（1）如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？CDBA（2）如图，D、E在BC上，2DCBD，3ECDE．求三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？EDCBA【答案】（1）3倍；4倍；（2）6倍【分析】（1）等高模型，两个三角形高相等，底是几倍，面积就是几倍．（2）3ECDE，则3AECADESS△△，可设三角形ADE的面积为1份，则三角形AEC的面积为3份；2DCBD，则2ADCABDSS△△，所以三角形ABD是2份；则三角形ABC的面积为6份，所以面积是三角形ADE的6倍．方法二：通过边的关系导出6BCDE，所以是6倍．【随堂练】=4CDBD,则三角形ADC是三角形ABD的几倍？三角形ABC是三角形ABD的几倍？DCBA【答案】4倍，5倍练一练如图，在三角形CDE中，B是EC中点，A是BD中点，连接AE、AC，那么与三角形ABC面积相等的三角形一共有哪几个？若三角形ABC的面积是3.6平方厘米，求三角形CDE的面积.【答案】三角形ABE、ADC、ADE；14.4平方厘米例4（1）如图，三角形ABC中，2DCBD，3CEAE，三角形ADE的面积是20，三角形ABC的面积是多少？ECDBA（2）如图，在三角形ABC中，E是BC中点，D、F是AB边上的三等分点，已知三角形BEF的面积是2，求三角形ABC的面积是多少？ECBFDA【答案】（1）120；（2）12【分析】（1）32060DECS△，206080ADCS△，80240ABDS△，4080120ABCS△（2）因为F是DB的中点，所以DEFBEFSS△△，同理BDECDESS△△，因为2DBAD，2CDBACDSS△△，所以ABC△的面积是12．练一练如图，三角形ABC中，3DCBD，1.5AEBE，三角形ABC的面积是60，三角形BDE的面积是多少？EDCBA【答案】6【分析】60(13)15ABDS△，15(11.5)6BEDS△．例5（1）如图，已知三角形ABC的面积为8平方厘米，3BDBC，2ABAE，求三角形BDE的面积．ABCDE（2）如图，已知三角形ABC的面积为8平方厘米，BCBD，2AEAB，求三角形BDE的面积．ECDBA【答案】（1）36；（2）24【分析】（1）38324ABDABCSS△△，242336BDES△；（2）连接AD，8ABDABCSS△△，8(12)24BDES△.拓展9（1）如下图，已知2DBAD，3ECAE，已知10ADES△，求三角形ABC的面积．EDCBA（2）如下图，三角形ADAB的面积为1，其中=ABEADESS△△，=BDEBCDSS△△，三角形BDE的面积是多少？EDCBA【答案】（1）120；（2）9【分析】（1）连接BE，31030AEBS△，304120ABCS△.（2）连接CE，313BCES△，339BDES△.四边形ABCD是直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米．连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是________平方厘米．ABCDEFPPFEDCBAEDCBAEDCBADCBAABCDEFPPFEDCBAEDCBAEDCBADCBA【答案】3.18【分析】如图，连接AE，BD.因为AD∥BC，则：PDCPDBSS△△，又AB∥ED，则：EADEBDSS△△，所以，6.362EPDPDCEPDPDBEDASSSSSS△△阴影△△△3.18（平方厘米）拓2如图，正方形ABCD的边长为12厘米，正方形CEFG的边长为5厘米，求阴影部分的面积．NMGFEDCBAABCDEFGMN【答案】60平方厘米【分析】阴影部分可等积变形为两个直角三角形DCG与BCE，面积为12560平方厘米．拓3如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果三角形ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．FEDCBAABCDEF【答案】4【分析】连接AF、CE．因为ADEACESS△