随机变量的分布函数及其性质

为X的分布函数(c.d.f.).也常记为设X为r.v.,x是任意实数,称函数xxXPxF),()(一、定义)()(aFbF（]ab]]（])(bXaP)(aXP)(bXP注１．用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：§2.3、随机变量的分布函数及其性质()XFx株魏甩喀像刀帆鳖裔悔党乏糕必涪轮玻层奸崩美套隧徽圆景律需蠕病标殃23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质定理1.（分布函数的特征性质）(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即)()(,2121xFxFxx(3)(右连续性)F(x)右连续，即)()(lim)0(0xFtFxFxt0()1,Fxlim()0,xFx(2)(有界性)lim()1,xFx即F(+)=1,F(-)=0.雷动部莫生挫觅九劳耍杉窜讣簇衰笺螟东涩馁屎男饥湖结窃错氮略砧给蕾23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质证明（1）12xx2112()(){}0FxFxPxXx12()()FxFx（2）(){},FxPXx0()1Fx{}{1}nPXPnXn{(1)()}{(1)()}nnPXnPXnFnFnlim()lim()1nnFnFn0)(lim,1)(limxFxFxx示挛茄锌梧桓皿治藩涵悟逮民老逛辛码按阜娜炼惜行沤挪胆芥褥柑版纯偿23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一列单调下降的数列12*nxxxx成立*lim()()nnFxFx1**11111()(){}{()}[()()]iiiiiiFxFxPxXxPxXxFxFx1()lim()nnFxFx*lim()()nnFxFx寅镶诣基丘艘播伏极枝擎颁洞版龟极电格甜灵圆梦暴童海俐荆芦炸倪陀天23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质用分布函数表示概率)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP)0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空扇颊凉图吱灸馅汲矮埂络青惜瑟风垮吟音啼譬旨扦妈捡哥瞳似掉熊蚊溶吹23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质注2任一函数F(x)为分布函数的充分必要条件为：F(x)满足上述三条性质。注1分布函数也可定义为xXPxF)(应改为左连续性。这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3例F(x),G(x)为两个分布函数,,10)()1()(xGxF为一分布函数。证明塑鸟紊媒女舶墩袱完由昂碧消波执镁仿筋固措菏圃近坦厘蕊吾干钎搽厩嚼23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质例1设离散型随机变量X的概率分布为X01２P0.20.50.3（1）求X的分布函数F(x),并画出F(x)的图形；（2）求11PX}3{,XP二、举例絮篱蕉懈洼政瓷侧剂泞页晾沿浑所韭荔警服服凋吊菌疗绿焚予哇搂甄闸齐23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质,(){}0XxFxPXx解(1)由于X只可能取,0,1,2,故当x0时,当0≤x1时,当1≤x2时,当2≤x时,0,()0.2XxXFx1010XXXxX或7.0)(xXPxF,()1XxFxPXx从而归纳上述结果得绣漠挪清诡躲靳桃屉袄滔往忱氮拴算谗矿浸帆逻蘸屈过蝶冤厨煽自泊毕碑23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质0,00.2,01(){}0.7,121,2xxFxPXxxx0,10,0)(xxxU0.2()0.5(1)0.3(2)UxUxUx(2)11(1)(10)0.7PXFF{3}1PX或11{01}0.7PXPXor舒组蛊匣拴墩涛错轨史禽葡钓赋拷琉炊淤昨薄绽多霓态展普酮危废士坟用23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质0.20.71满足分布函数的三条基本性质。一般地，若离散型随机变量X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，定遏闷哭撂频运涸赠奎辟稻狂慕开暑碎渊殖陶峡捍闰垫沪刊宠俗振蜜萤毫23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…0100)(xxxUxxiixx其中表示对满足的一切下标i求和。称为单位阶梯函数，也称为Heavyside函数。则其分布函数为1)(}{)(iiixxixxUppxXPxFi咆烤蚜和食镀河狮灭玫究潍猾攒介奥冕仗倘谨晰及姚移朗孵蚕链鸦颁鳞吊23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质值得注意的是,F(x)是(-,+)上的分段阶梯函数,开区间外,其余各段都是左闭右开的区间.间断点就是随机变量X的取值点,除最左边那段是1)(CXP)(10)(cxUcxcxxF特别地，若随机变量以概率1取常数，即则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为峨灾堑喀脑氯柏苟貉刽乾积规热抠沫腥专祷胁箔垦保父彪脉抗讥镍拣曲树23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质例2向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点,以X表示该质点到圆心的距离.设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比,试求X的分布函数.xX0)(xXPxFxXxX02()FxPXxkx,()1XxFxPXx解当x0时,当0≤x≤1,可得其中k为比例常数,又因为P{0X1}=1,故k=1.当x1时,笨茸钳滁衰烟完盏拍抠地驮代谴蛀全锰落儡属滔噶琉讳转即痞咸千螺囚板23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质综上所述,X的分布函数为111000)(2xxxxxF11龄缀级絮拖虞颗垂蜀格膳湃恕道盯柬梦糟摇犁蝗猫董吵殖奏拾偿氛染赐弯23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质总结一、定义二、举例若离散型随机变量X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk0100)(xxxU则其分布函数为1)(}{)(iiixxixxUppxXPxFi称为单位阶梯函数.堤是骑蜂酋窑铺粳嘲皱坟拳骇予正滁呻惮硷辆喜貌操我给大沤衷岩迪秩乌23随机变量的分布函数及其性质23随机变量的分布函数及其性质