1.8 连续性间断点

二、函数的间断点一、函数连续性第八节机动目录上页下页返回结束函数的连续性与间断点三、小结一、函数的连续性1.函数的增量0000()(,),(,),,.fxUxxUxxxxx设函数在内有定义称为自变量在点的增量.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy2.连续的定义定义1设函数)(xf在0(,)Ux内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那么就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.,0xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是定义2设函数)(xf在0(,)Ux内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那么就称函数)(xf在点0x连续.:定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理00()().fxxfxx函数在处连续函数在处既左连续又右连续.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)(,,,),(上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内是连续的有理函数在区间例3.证明函数在内连续.证:),(xxxxysin)sin(222sincos()xxyxx0x即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.0机动目录上页下页返回结束在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点(不连续点）.在无定义;机动目录上页下页返回结束间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称0x若称0x第二类间断点:及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束2x为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.1x为可去间断点.xoy1例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动目录上页下页返回结束1)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设0,0,sin)(21xxaxxxfx____,a时提示:,0)0(f)0(f)0(fa)(xf为连续函数.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？思考题解答)(xf在0x连续，)()(lim00xfxfxx)()()()(000xfxfxfxf且)()(lim00xfxfxx)(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续但|)(|xf、)(2xf在00x连续备用题确定函数间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf机动目录上页下页返回结束作业P65.2,3,4,5.