质数

五年级四班陈炯哲质数的概念所谓质数或称素数，就是一个正整数，除了本身和1以外并没有任何其他因子。例如2，3，5，7是质数，而4，6，8，9则不是，后者称为合成数。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（有人认为数目字1不该称为质数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。质数的奥秘质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。质数的性质被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641*6700417，并非质数，而是合数。更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！质数的假设17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。求大质数的方法研究发现质数除2以外都是奇数，而奇数除了【奇数*奇数】(或再加“*奇数”）都是质数。那么用计算机先把【奇数*奇数】(或再加“*奇数”）（比如9，15，21，25，27，33，35，39……）都求出来，再找奇数中上面没提到的那些数，那些数就是素数。人们找出的几个超大质数中有遗漏，那么就可以用此方法求出那些遗漏的数，不过需要很长时间！最大的质数假设存在最大的质数M,2、3、5、……、M是所有小于等于M的质数，设N=2*3*5*……*M+1，N显然不能被2、3、5、……、M所整除。N也不可能被其它合数整除。因为若N被合数A整除，而因为A为合数，所以至少存在一个质因子a,依照前面的假设,a必是2、3、……、M中的一个，这样就有a|A,A|N=a|N，这与N=2*3*5*……*M+1的表达式相悖，故N也不可能被其它合数整除。那根据除了1和它本身外，没有其它因数的数，就是质数”的定义，N也是质数。这样就存在一个大于M的质数，和前面的假设矛盾。所以假设不成立。故因得到不存在最大的质数的结论！伪质数伪素数，又叫做伪质数：它满足费马小定理，但其本身却不是素数。最小的伪素数是341。有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。若n能整除2^(n-1)-1，并n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。第一个伪素数341是萨鲁斯（Sarrus)在1819年发现的。