迎春杯2008-2015复赛高年级组解答详解

2008“数学解题能力展示读者评选活动高年级组复试题(活动时间：2008年2月4日9:O02-10:30；满分130分)一、填空题(每小题l0分，共100分)1．将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是．12008+【解析】三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有18+19+8=45．要使加数中的四位数最小，尝试百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．2．如果三位数m同时满足如下条件：⑴m的各位数字之和是7；⑵2m还是三位数，且各位数字之和为5．那么这样的三位数m共有个．【解析】三位数2m可以是500，410，320，230，140，302，212，122，104；得到m可以是250，205，160，115，70，157，106，61，52，两位数的均舍去，所以符合条件的共有6个．3．爸爸买了三个不同的福娃送给三胞胎兄妹．打开包装前，哥哥猜：“一定有欢欢，而没有晶晶”；弟弟猜：“晶晶和欢欢当中至少有一个，一定没有迎迎”；妹妹猜：“一定有迎迎和妮妮，没有贝贝”；爸爸笑着回答：“你们每个人猜的两句话中，都恰好有一句是对的，有一句是错的”,请你把三个福娃的名字写下来：，，．【解析】假设哥哥说的第一句话是对的，第二句是错的，则有欢欢和晶晶，所以弟弟的第一句话对，第二句话错，所以有迎迎，此时妹妹说的第一句话错，第二句话对，符合条件，所以三个福娃是欢欢、晶晶、迎迎．4．如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为．【解析】对于任意一组数，其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和，所以为了使这些质数中最大的数更大，应该尽可能多地取小于21的质数，由于大于21的所有质数都是奇数，所以大于平均数21的超出部分之和一定是偶数，相应的所取的小于21的质数与21的差之和也应该是偶数，所以唯一的偶质数2是不能取的，因为它与21的差为奇数．剩下7个数的和是75，21×8-75=93，小于93的最大的质数是89．当这些质数取3，5，7，11，13，19，89时符合条件．5．计算：11111()1200722006(2008)2006220071nn++++++×××−××20071111()20081200622005(2007)20061nn−+++++=×××−×．【解析】11111()1200722006(2008)200622007120071111()20081200622005(2007)20061nnnn++++++×××−××−+++++×××−×　　　11111()1200722006(2008)200622007120071111()]2008200820081200622005(2007)20061nnnn++++++×××−××−+++++×÷×××−×=[　　20082008200820082008[()1200722006(2008)20062200712007200720072007()]20081200622005(2007)20061nnnn=++++++×××−××−+++++÷×××−×　　11111111[(11)200722006200820062200711111111(11)]20082006220052007200522006nnnn=+++++++++++−−+++++++++++÷−　　11()200820072007=+÷12015028=．6．有四个非零自然数,,,abcd，其中cab=+，dbc=+.如果a能被2整除，b能被3整除，c能被5整除，d能被7整除，那么d最小是．【解析】令2,3akbl==，则62dlk=+，因为d能被7整除，最小14，此时,lk取不到整数；若28d=，则4,2lk==，所以d最小是28．7．在图的5×5的方格表中填入ABCD、、、四个字母，要求：每行每列中四个字母都恰出现一次：如果菜行的左边标有字母，则它表示这行中第一个出现的字母；如果某行的右边标有字母，则它表示这行中最后一个出现的字母；类似地，如果某列的上边(或者下边)标有字母，则它表示该列的第一个(或者最后一个)出现的字母．那么,,,ABCD在第二行从左到右出现的次序是．DAAADCBA【解析】,,,ABCD在第二行从左到右出现的次序是,,,BCDA．8．记四位数abcd为X，由它的四个数字,,,abcd组成的最小的四位数记为X∗，如果*999XX−=，那么这样的四位数X共有个．【解析】*999XX−=得到99910001XXX∗∗=+=+−，所以如果a、b、c、d组成的四位数X∗末位数字不是0，那么X等于将X∗的千位数字加1，个位数字减1，反过来X∗等于X的千位数字减1，个位数字加1，所以X∗为()()11abcd−+，与X比较，b和c位置没有换，交换的是a和d，X∗表示为dbca，可以得到等式1ad−=、1ad=+，所以a和d的取值组合，只有2和1，3和2，…，9和8这8种，对于其中任意一种组合，以4a=，3d=为例，dbca只有取值3334，3344，3444，3004，3034，3044这6个数时，dbca是由四个数字abcd、、、组成的最小的四位数，根据乘法原理满足条件的四位数一共有8648×=种．如果abcd、、、组成的四位数X∗末位数字是0，显然得X∗的百位、十位都是0，此时abcd、、、无法组成其它的四位数．9．一堆火柴有20根，甲乙二人轮流从中取出一些火柴，要求每次取的根数是前一个人所取根数的约数，谁取走最后一根谁就获胜．如果甲先取，并且第一次取的根数是一位数，那么为了确保自己获胜，他第一次应该取根．【解析】如果甲取4根，则无论乙可取1或2或4根，甲必胜，所以他第一次应该取4根．10．如图，已知4ABAEcm==，BCDC=，90BAEBCD∠=∠=°，10ACcm=，则SABCACECDESS++=⊿⊿⊿________2cm．CDEBA【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC和'ADE，再连接''AC，显然的'ACAC⊥，'ACAC⊥，''ACACAC==，所以''ACAC是正方形．三角形'AEC和三角形'ADC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形''ACAC中有如下等量关系：''AECADCSSD=；''AECADCSSDD=；'CEDCDESSDD=．所以SABCACECDESSDDD++='SAECACECDESSDDD++=''12ACACS�11010502=××=2cm．OC'A'CDEBA二、解答题(每小题l5分，共30分)：11．若干个同学排成一列纵队购买电影票，如果你观察后发现：除了前面的5个同学外，每个同学都要比从他往前数(不包括他)第5位的同学高：除了前面的3个同学外，每个同学都要比从他往前数(不包括他)第3位的同学矮．请问这支队伍最多有几个人?【解析】因为除了前面的5个同学外，每个同学都要比从他往前数(不包括他)第5位的同学高，所以至少有6人，如果有7人，假设第一个人的身高为1.5米(为了方便比较高矮，每次变化0.1米)，则第四个人为1.4米，第七个人为1.3米，第二个人为1.2米；此时第六个人为1.6米，第三个人为1.7米，符合条件；如果有8人，假设第一个人的身高为1.1米(为了方便比较高矮，每次变化0.1米)，则第六个人为1.2米，第三个人为1.3米，第八个人为1.4米，第五个人为1.5米，第二个人为1.6米，第七个人为1.7米，第四个人为1.8米，因为第一个人必须比第四个人高，矛盾；所以这支队伍最多有7个人．12．如图，小明家和小强家相距10千米，小强家与公园相距25千米．小明9：20从家骑车出发去公园，l0：40小强从家出发，步行去公园．当小明到达学校时，他立即弃车步行；又过了一会儿，当小强到达学校时，他立即开始骑车．两人同时于下午2：00到达公园．如果两人步行速度相同，骑车速度也相同，那么学校与公园相距多少千米?公园学校小强家小明家【解析】相距x千米，骑车速度和步行速度为a和b，那么：()()11143531110253xxabxxab−+=+−=三个未知数有两个方程，显然要么无解，要么有无数组解.事实上只要注意到：35：25=7，5=14/3：10/3，方程满足a=b=7.5，x取任意值，都成立.当然步行速度和骑车速度是不可能相等的.两方程相加得到：1135258ab×+×=187255ba=−代入第一条方程：()18714352553xxaa−+−=()1212175015xa−−=因为a≠7.5，所以17512x=千米．2009“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组复试题（活动时间：2009年2月4日9：00—10：30；满分150分）填空题（每小题10分，共150分，请将答案填入答题卡中）：1.计算：216471370216128625302829÷×=．2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．3.用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．5.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．7.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．02090411178.一个电子表用5个两位数（包括首位为0的两位数）表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．9.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．10.请将1,2,3,…,10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积ABC××=．11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．12.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙