曾谨言量子力学第3章

第3章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则§3.2算符的本征函数与本征值§3.3共同本征函数§3.4连续谱本征函数的归一化§3.1算符的运算规则(a)线性算符：凡满足下列规则的算符A，称为线性算符。11221122ˆˆˆ()(1)AcccAcANote:刻画可观测量的算符都是线性算符单位算符I：保持波函数不变的算符)2(ψψI算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果都相同，则称这两个算符相等。)3(ˆˆψψBABAˆˆ算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算(c)算符之积：两个算符A和B的积记为AB。定义如下：对任何波函数有)5()ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψBABA1.对易子(commutator))6(ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ABBABA(b)算符之和:算符A,B之和，记为A+B。定义如下：对任何波函数有)4(ˆˆ)ˆˆ(ψψψBABAˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆˆ()()ABBAABCABC交换律:结合律:Note:一般来说，算符之积不满足交换律若[A,B]=0,则称算符A,B是对易的；若[A,B]≠0,则称算符A,B不对易。恒等式)(0]]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆ,ˆ[,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[JacobiBACACBCBABCACBACBACBACABCBACABACBAABBA2.量子力学的基本対易关系ˆˆ[,]i(,,,)xpxyz对易子的性质证明：ˆˆixxpxxˆˆi()iixpxxxxx对任意波函数Ψ有3.角动量算符ˆˆˆlrpˆˆˆˆˆiˆˆˆˆˆiˆˆˆixzyyxzzyxlypzpyzzylzpxpzxxzlxpypxyyx则ˆˆˆˆ()ixxxppx即ˆˆ[,]ixxp分量表述球坐标系下的角动量算符)/arctan()/arctan(,cossinsincossin22222xyzyxzyxrrzryrxφθθφθφθφφφθθφφφθθφiˆsincotcosiˆcoscotsiniˆzyxlll22222sin1sinsin1ˆφθθθθθlγαβγβαεxxli],ˆ[1123εεεεαγββαγαβγγαβγβαεpplˆi]ˆ,ˆ[γαβγβαεlllˆi]ˆ,ˆ[lllˆiˆˆ2222ˆˆˆˆzyxllll),,(,0]ˆ,ˆ[2zyxllαα角动量的对易关系或定义角动量平方算符对易关系板书证明部分角动量对易关系Levi-Civita符号练习：令yxlllˆiˆˆ证明（升、降算符）lllzˆ]ˆ,ˆ[zlllˆ2]ˆ,ˆ[zzlllllˆˆˆˆˆ22（注意算符的叉积与两个矢量叉积的区别）(d)逆算符：设φψAˆψφ1ˆA111ˆˆ)ˆˆ(ABBA能唯一地解出Ψ，则可定义算符A的逆算符A-1为说明：(1)并非所有算符都有逆算符，如投影算符(2)若算符A有逆，则有0]ˆ,ˆ[,ˆˆˆˆ111AAIAAAA(3)若算符A,B的逆均存在，则有(f)算符的函数0)(!)0()(nnnxnFxF0)(ˆ!)0()ˆ(nnnAnFAF0dddd!ddnnnnxaxnaexF若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛则可定义算符A的函数F(A)为如)()(ddaxxexaψψ则平移算符),(),(),(yxFyxyxFmmnnmnmnmnmnBAmnFBAFˆˆ!!)0,0()ˆ,ˆ(0,),(两个算符的函数两个任意量子态的标积：φτψφψd),(对一维粒子xddτ对三维粒子φθθτdddsindddd2rrzyx算符的乘幂：定义算符A的n次幂为nnAAAAˆˆˆˆ例，若xAddˆ则nnnxAddˆ显然算符的乘幂满足：nmnmAAAˆˆˆ0]ˆ,ˆ[nmAA),(),(),(),(),(),(),(),(0),(2211221122112211φψφψφψψφψφψφφψψφφψψψcccccccc标积的性质φτψφψd),((f)转置算符：算符A的转置定义为ψτφφτψAAˆd~ˆd)ˆ,()~ˆ,(ψφφψAAxx~或例如：证明：φψφψφψψφxxxxxxdddφψψφxxxx~dd按转置算符的定义，上式的左边有则0~dφψxxx由于函数Ψ，φ是任意的，则有0~xx即xx~练习证明：(g)复共轭算符和厄米共轭算符算符A的复共轭算符A*定义为)40()ˆ(ˆψψAA通常算符A的复共轭算符A*按如下方法求解：把算符A中的所有量都换成其复共轭。如ppˆi)i(ˆ算符A的厄米共轭算符A+定义为)41(),ˆ()ˆ,(φψφψAA则)~ˆ,()ˆ,()ˆ,(),ˆ()ˆ,(φψψφψφφψφψAAAAA所以AA~ˆˆˆˆˆˆˆˆ(1),(2)()TxxppABBA如ppppˆ~ˆ~ˆˆ性质ABCCBAˆˆˆ)ˆˆˆ((h)厄米算符满足下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的)41(ˆˆ),ˆ()ˆ,(AAAA或φψφψNote:所有力学量的算符均是厄米算符性质：(1)两个厄米算符之和仍是厄米算符(2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符(3)无论厄米算符A,B是否对易，算符)ˆˆˆˆ(i21),ˆˆˆˆ(21ABBAABBA均是厄米算符（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合OOOˆiˆˆ令)ˆˆ(i21ˆ),ˆˆ(21ˆOOOOOO则O+和O-均是厄米算符。即定理：在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。证明：ˆˆˆˆˆ(,)(,)(,)AAAAA逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符证明：按照假定ˆˆAA即),ˆ()ˆ,()ˆ,(ψψψψψψAAA取Ψ=Ψ1+cΨ2,Ψ1,Ψ2也是任意的，c是任意常数，代入上式),ˆ(),ˆ(),ˆ(),ˆ()ˆ,()ˆ,()ˆ,()ˆ,(222211211222211211ψψψψψψψψψψψψψψψψAcAcAcAAcAcAcA在任意态下算符A的平均值都是实数，即),ˆ()ˆ,(),,ˆ()ˆ,(22221111AAAA),ˆ(),ˆ()ˆ,()ˆ,(21122112ψψψψψψψψAcAcAcAc所以分别令c=1和c=i得到)ˆ,(),ˆ(),ˆ()ˆ,(12122121ψψψψψψψψAAAA)ˆ,(),ˆ(),ˆ()ˆ,(12122121ψψψψψψψψAAAA两式分别相加、减得),ˆ()ˆ,(),,ˆ()ˆ,(12122121ψψψψψψψψAAAA推论：设A是厄米算符，则在任意态下有222ˆˆˆˆˆ(,)(,)d0AAAAA-------END注：实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应的算符必定是厄米算符设厄米算符A在任意态ψ下的平均值为零，则A为零算符，即)(0ˆ任意A证明：0),ˆ(ˆAAA，0)ˆ,ˆ(2))ˆ(ˆ,ˆ()ˆ,()ˆ,ˆ()ˆ,()ˆˆ,ˆ()(ˆ,ˆ22AAAAAAAAAAAAAAA在态ˆA下的平均值也为零，即即0dˆ2A所以0ˆA§3.2厄米算符的本征值与本征函数)1(d)ˆ()ˆ(222AAAAA)2(0d)ˆ(22AAA0)ˆ(ψAA)3(ˆnnnAA涨落：力学量的测量值围绕其平均值的上下波动。利用算符的厄米性可得本征态：若体系处于一特殊态，测量力学量A所得结果是唯一确定的，即涨落为零，则称这种状态是力学量A的本征态。即或写成An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态，方程(3)称为算符A的本征方程。定理1厄米算符的本征值必为实数nnnnnnAAAA),()ˆ,(ψψψψ量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An定理2厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交证明：mmmnnnAAAAψψψψˆ,ˆmmmAAψψˆ),(),ˆ(nmmnmAAψψψψ0),)((nmnmAAψψ设取上式的复共轭得上式右乘Ψn，并积分得对厄米算符A,有),(),()ˆ,(),ˆ(nmmnmnnmnmAAAAψψψψψψψψ所以若mnAA，则必有0),(nmψψ--------证毕例题1求角动量的z分量的本征值与本征函数解：本征方程ψψφzli/ilnzlφψ]/iexp[)(φφψzlC)()2(φψπφψ,2,1,0,mmlzφφψmmCei)(12d)(2202Cmπφφψπ,2,1,0,21)(imemmφπφψ整理得其解为周期性边界条件所以相应的本征函数为归一化即例题2平面转子的能量本征值与本征态解：平面转子的哈密顿为222222ˆˆφIIlHz能量本征方程ψψφEI2222解为,2,1,0,21)(imemmφπφψ能量本征值为ImEm222显然，除了m=0外，对应一个本征值Em，有两个本征态，能级二重简并。思考题：平面转子的能量本征态可否取为实函数sinmφ,cosmφ?此时它们是否仍为lz的本征态？例题3求动量x分量的本征态解：动量x分量的算符xpxiˆ本征方程为ψψxpxi/i)(xppxxCexψ其解为)(d)()(xxppppxxxxxδψψ连续谱本征函数不能归一化，习惯上取/i21)(xppxxexπψ波函数满足例题4一维自由粒子的能量本征态解：一维自由粒子的Hamilton量为2222dd22ˆxmmpHx本征方程：ψψExm222dd2本征函数：0/2,~imEkekxψ能量本征值：02/22mkE能级二重简并思考题：自由粒子的能量本征态可否取为sinkx与coskx?此时它们是否还是px的本征态？它们是否有确定的宇称？相应的粒子流密度是多少？能级简并设力学量A的本征方程为nnnnfAA,,2,1,ˆαψψαα属于本征值An的本征函数有fn个，则称本征值An是fn重简并的。一般来说，简并态的选择并不是唯一的，简并态间也不一定彼此正交，但总可以适当地线性组合使之彼此正交。证明：令nfnnfan,,2,1,1βψααβαβ,ˆˆ11βααβαααβαβψψnnfnfnnnAaAAaAnnββββδ),(nn则即Φnβ仍是算符A的本征态，相应的本征值仍是An可选