等差数列复习课件

必考部分第五章数列第二节等差数列考纲点击1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a，b的第二项差an＋1－an＝dA＝a＋b2等差中项2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝.＝a1＋(n－1)dna1＋nn－12da1＋ann23．等差数列的性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则.(2)在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为.(3)若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为.am＋an＝ap＋aqkdn2d(4)等差数列的增减性：d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最值．d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最值．(5)等差数列{an}的首项是a1，公差为d，若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝，当d≠0时它表示函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的条件．递增小递减大d2a1－d2二次充要1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，则a2＝()A．3B．4C．5D．6基础自测解析：S3＝3a1＋a32，即9＝3a1＋a32，∴a1＋a3＝2a2＝6，a2＝3.答案：A2．在等差数列{an}中，若a4＋a5＝15，a7＝15，则a2的值为()A．－3B．0C．1D．2解析：由题意知，a2＋a7＝a4＋a5，所以a2＝a4＋a5－a7＝0.答案：B3．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为()A．14B．15C．16D．17解析：由题意知5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)－13(a8＋3d)＝23a8＝16.答案：C4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝__________.解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.答案：605．在等差数列{an}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝__________.解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝S.则S100＝S＋50d＋S＝2S＋25＝45，∴S＝10.答案：10要点点拨1．等差数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．2．等差数列的基本量的计算等差数列问题，最基本的解法是应用基本量a1和d，通过列方程(组)求解，但恰当地设元可减少运算量．比如：三数和为定值时可设为a－d，a，a＋d；四数和为定值时可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.3．等差数列的前n项和Sn的函数性质等差数列{an}的前n项和Sn可变形为Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，令A＝d2，B＝a1－d2，则Sn＝An2＋Bn，当A≠0即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上(y轴右边)，可利用其几何意义解决Sn的最值问题．[例1](1)(2012·重庆)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25热点题型一等差数列的基本运算(2)(2011·大纲全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8B．7C．6D．5(3)(2012·山东高考)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73①求数列{an}的通项公式；②对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.[思路点拨]利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．[解](1)∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d＝1，a4＝a1＋3d＝5⇒a1＝－1，d＝2，∴S5＝5a1＋5×42d＝5×(－1)＋10×2＝15，故选B.(2)依题意，得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5.选D.(3)①因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．②对m∈N*，若9man92m，则9m＋89n92m＋8.因此9m－1＋1≤n≤92m－1.故得bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.[答案](1)B(2)D[规律总结](1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，“知三求二”，体现了方程思想的应用．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．(3)等差数列的通项公式形如an＝an＋b(a，b为常数)，前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．变式训练1已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.(1)求通项an；(2)若Sn＝112，求n.[解](1)设等差数列的首项为a1，公差为d，∵a5＝15，∴a1＋4d＝15①∵a10＝25，∴a1＋9d＝25②解①②组成的方程组得：a1＝7，d＝2.∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.(2)∵Sn＝112，∴7n＋12n(n－1)×2＝112.即：n2＋6n－112＝0，解得n＝－14(舍去)或n＝8，故n＝8.[例2]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝12，an＝－2SnSn－1(n≥2)．(1)求证：数列{1Sn}是等差数列．(2)求Sn和an.热点题型二等差数列的判定与证明[思路点拨](1)若判断数列{1Sn}为等差数列，应先把已知an＝－2SnSn－1(n≥2)如何变形？(提示：把an换成Sn－Sn－1)(2)把等式an＝－2SnSn－1(n≥2)变形后如何得到含有1Sn－1Sn－1的等式？(提示：等式两边同除以SnSn－1)[解](1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式，若Sn－1≠0，则Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N＋)，由①式得1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．∴{1Sn}是等差数列，其中首项为1S1＝1a1＝2，公差为2.(2)1Sn＝1S1＋2(n－1)＝1a1＋2(n－1)，∴Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－12nn－1，当n＝1时，a1＝S1＝12不适合上式，∴an＝12，n＝1，－12nn－1，n≥2.[规律总结]判断或证明一个数列是否为等差数列常用的方法：(1)定义法：即数列{an}中若有an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)，则数列{an}为等差数列．(2)等差中项法，即数列{an}中若有2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，则{an}为等差数列；(3)若数列{an}的通项公式为an＝kn＋b(k，b为常数)，则该数列{an}为等差数列；(4)若数列{an}的前n项和公式为Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，则数列{an}为等差数列.变式训练2已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N＋)．求证：数列{bn}是等差数列．[证明]∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N＋)，bn＝1an－1，当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52，∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列.[例3](1)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________.(2)(2013·潍坊模拟)已知等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于__________．(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.热点题型三等差数列的性质及应用[思路点拨](1)根据S2＝S6，先求a4＋a5的值，再求a5.(2)根据S3，S6－S3，S9－S6成等差数列求解．(3)根据前6项与最后6项的和求出a1＋an，再求n及a9＋a10.[解析](1)∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴2(a4＋a5)＝0，即a4＋a5＝0，∴a5＝－a4＝－1.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，且S3＝40，S6－S3＝20.∴S9－S6＝20＋(－20)＝0，∴S9＝S6＝60.(3)由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝na1＋an2＝324，∴18n＝324，∴n＝18.∴a1＋a18＝36，∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.[答案](1)－1(2)60[规律总结]1.在等差数列{an}中，在应用其性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2＋a5＝a7的错误．2．本例第(2)题也可先求a1，d再求a7＋a8＋a9，但不如用性质简单．变式训练3已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋a12＋…＋a20＝20，则a41＋a42＋…＋a50＝__________.[解析]解法一：(方程组法)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋…＋a10＝10a1＋45d，a11＋a12＋…＋a20＝10a1＋145d.即10a1＋45d＝10，10a1＋145d＝20，解得d＝110，a1＝1120.所以a41＋a42＋…＋a50＝10a1＋445d＝50.解法二：(整体替换)设数列{an}的公差为d，记b1＝a1＋a2＋…＋a10，b2＝a11＋a12＋…＋a20，b3＝a41＋a42＋…＋a50，由等差数列的定义，可知an＋1－an＝d，故b2－b1＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝10d＋10d＋…＋10d＝100d，所以100d＝20－10，解得d＝110.而b3－b1＝(a41－a1)＋(a42－a2)＋…＋(a50－a10)＝40d＋40d＋…＋40d＝400d，即b3－b1＝400×110＝40.所以b3＝b1＋40＝10＋40＝50.[答案]50[例4]在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．热点题型四等差数列的前n项和的最值问