导数与数列型不等式学生版

导数与数列型不等式1．设函数xaxxxfln)(2，其中0a.（1）若6a，求)(xf在[1,4]上的最值；（2）若)(xf在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（3）求证：不等式)(11ln*3Nnnnnn恒成立.2．已知函数1ln)(xxxf.（1）试判断函数)(xf的单调性；（2）设0m，求)(xf在]2,[mm上的最大值；（3）试证明：对nN，不等式11ln()ennnn.3．已知函数)0(ln1)(axaxxxf（1）若函数)(xf在),1[上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当1a时，求)(xf在]2,21[上的最大值和最小值；（3）当1a时，求证对任意大于1的正整数n，nn1413121ln恒成立.4．设函数()ln(1),()'(),0fxxgxxfxx，其中'()fx是()fx的导函数.11()(),()(()),nngxgxgxggxnN，(1)求()ngx的表达式；(2)若()()fxagx恒成立，求实数a的取值范围；(3)设nN，比较(1)(2)()gggn与()nfn的大小，并加以证明.5．已知函数xxaaxxfln1)(（1）当21a时，试讨论函数)(xf的单调性；（2）证明：对任意的Nn，有)1(2ln1)1ln(22ln11ln2nnnnnn.6．已知函数1ln)(axxxf在2x处的切线斜率为21.(1)求实数a的值及函数)(xf的单调区间；(2)设)(xg22xkxkx，对)0,(),,0(21xx使得)()(21xgxf成立，求正实数k的取值范围；(3)证明：2ln22＋2ln33＋…＋2lnnn22141nnn(Nnn,2)．7．已知函数(),xfxekxxR．（1）若ke，试确定函数()fx的单调区间；（2）若0k，且对于任意xR，(||)0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数()()()Fxfxfx，求证：1*2(1)(2)()(2)()nnFFFnenN．8．已知xxxfln1)(．（1）求函数yfx的单调区间；（2）若关于x的方程kxxxf2)(2有实数解,求实数k的取值范围；（3）当2,nNn,时,求证：1131212)(nxnf．9．已知函数2()ln()fxxaxx在0x处取得极值.（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程5()2fxxb在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围；（3）证明:对任意的正整数n,不等式34249…21ln(1)nnn都成立.10．已知函数)(3ln)(Raaxxaxf．(1)若1a，求函数)(xf的单调区间；(2)若函数)(xfy的图象在点))2(,2(f处的切线的倾斜角为45°，对于任意的]2,1[t，函数23)(xxxg2mfx()('xf是)(xf的导数)在区间)3,(t上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：ln2ln3ln4234×…×lnnn1n(Nnn,2)．11．已知函数)0()1ln()(2aaxxxf（1）讨论)(xf的单调性．（2）证明：nen211)411()1611)(411(（Nn，e为自然对数的底数）12．函数xxfsin)(.（1）令)(),()()()('1'1Nnxfxfxfxfnn，，求)(2014xf的解析式；（2）若xaxxfcos1)(在,0上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：)12(4)1(23)12)1((...)122()12(nnnnfnfnf.13．已知函数cxbaxxfln)((cba,,是常数)在ex处的切线方程为0)1(eeyxe，且(1)0f.（1）求常数cba,,的值；（2）若函数)()(2xmfxxg(Rm)在区间)3,1(内不是单调函数，求实数m的取值范围；（3）证明:ln2ln3ln4ln2013123420132013.14．已知函数kxxf)(，xxxgln)(（1）求函数xxxgln)(的单调递增区间；（2）若不等式)()(xgxf在区间（0,+)上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：enn21ln33ln22ln44415．设函数xaxxfln2.)(Ra（1）讨论)(xf的单调性；（2）已知0a，若函数xfy的图象总在直线21y的下方，求a的取值范围；（3）记fx为函数xf的导函数．若1a，试问：在区间10,1上是否存在k（k100）个正数321,,xxx…kx，使得1232012kfxfxfxfx成立？请证明你的结论.16．已知函数()lnfxax(0,aaR)，1()xgxx.（1）当3a时，解关于x的不等式：10fxegx；（2）当1a时，记()()()hxfxgx，过点1,1是否存在函数()yhx图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；（3）若a是使1fxgxx恒成立的最小值，对任意*nN，试比较111nkk与112nfn的大小(常数01).17．已知函数2()ln(1)fxaxx．（1）当14a时，求函数()fx的单调区间；（2）当[0,)x时，函数()yfx图象上的点都在0,0xyx所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（3）求证：12482(1)(1)(1)[1]e233559(21)(21)nnn（其中*nN，e是自然对数的底数）．18．已知函数()exfxkxxR，（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()Fxfxfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnnN．19．已知函数axaxgxxf(.23)(,ln)(为实常数）．（I）当1a时，求函数)()()(xgxfx在),4[x上的最小值；（Ⅱ）若方程)()(2xgexf在区间]1,21[上有解，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：*,12)]1()()12(2[601451Nnnkfkfkfnnk（参考数据：ln20.6931）20．已知函数11()()lnfxaxxax（1a）．（1）试讨论()fx在区间(0,1)上的单调性；（2）当3,a时，曲线()yfx上总存在相异两点11(,())Pxfx，22(,())Qxfx，使得曲线()yfx在点P，Q处的切线互相平行，求证：1265xx.21．已知函数2211xfxxRxx．（Ⅰ）求函数fx的极大值；（Ⅱ）若2220tttexexe≥对满足1x≤的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、、，恒有2222abababff≥22ab．22．已知函数ln1afxxaxR()()．（Ⅰ）当92a时，如果函数gxfxk()()仅有一个零点，求实数k的取值范围；（Ⅱ）当2a时，试比较fx()与1的大小；（Ⅲ）求证：1111ln135721nn()n*N()．23．设函数)1ln()(2xbxxf，其中0b（1）当21b时，判断函数)(xf在定义域上的单调性；（2）求)(xf的极值点；（3）证明对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立。24．设函数2()ln(1)fxxbx=++．（Ⅰ）若函数()yfx在定义域上是单调函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若1b，证明对于任意的nN，不等式33311111()123nkfkn．25．设函数()(1)ln(1)(1).fxxxxx（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）证明：当0nm时，(1)(1)mnnm；（Ⅲ）证明：当2012n，且123,,,xxx…，nxR，1231nxxxx时，(1)222312123111xxxxxx…2111nnxxn≥(2)222312123(111xxxxxx…11220121))12013nnnxx＞(.26．设函数2()ln(1)fxxax，其中aR。（Ⅰ）若(1)0f，求a的值；（Ⅱ）当0a时，讨论函数()fx在其定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式23111ln(1)()nknkk都成立。27．已知函数xeaxxf2)()(Rx（e是自然对数的底数，71.2e）.（1）当15a时，求)(xf的单调区间；（2）若)(xf在区间1[,]ee上是增函数，求实数a的取值范围；（3）证明eneneeen451...312111232222对一切Nn恒成立.28．已知函数))(ln()(是常数aaxxxf.（1）求函数)(xf的单调区间；（2）当1)(xxfy在处取得极值时，若关于x的方程]2,21[2)(2在bxxxf上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当Nnn,2时，有.)11()311)(211(222en29．已知函数xxxfsin)(（Ⅰ）当],0[x时，求)(xf的值域（Ⅱ）设1)()(xfxg，若21)(axxg在),0[恒成立，求实数a的取值范围（III）设))(()(xxfxxh，若)(xh在),0(上的所有极值点按从小到大排成一列,,,321aaa，求证：nnaa1230．已知函数2()(0)22mxmfxmx．（1）若()ln1fxxm在[1)，上恒成立，求m取值范围；（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn3223512nnn（*nN）．31．设函数.ln)(2xmmxxxf（1）设曲线)(xfy在点（1，)1(f）处的切线与x轴平行．①求)(xf的最值；②若数列na满足11ea（e为自然对数的底数），1()1,nnafanN，求证：1221nannkk．（2）设方程0lnxx的实根为0x．求证：对任意000(,)21xmxx，存在000,21xxxx使2()ln(1)xfxxe成立．32．已知函数()ln(1)(1)1fxxkx（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：①ln(1)22+xx在（，）上恒成立②2ln(1)(,1)14niinnnniN33．已知函数)),1[(1ln)(xxxxf，数列na满足)(,*11Nneaaeann．（Ⅰ）求数列na的通项公式na；（Ⅱ）求)()()(21nafafaf；（Ⅲ）求证：).(321*2)1(Nnennn34．已知函数11ln)(2xpxpxf.（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）当1p时，kxxf)(恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：nn131211)1l