2017届一轮复习--同角三角函数基本关系式及诱导公式-课件

第三章三角函数、解三角形§3.2同角三角函数基本关系式及诱导公式内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.2.下列各角的终边与角α的终边的关系sin2α＋cos2α＝1角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示sintancos＝知识梳理1答案与角α终边的关系角π－απ2－απ2＋α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y＝x对称答案3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosαcosα－cosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα答案(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()××√(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()×思考辨析答案1.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα等于()A.－513B.－1213C.513D.1213解析∵sinα＝513，α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1213.B考点自测212345解析答案2.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B.－23C.13D.－13解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.B又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，∴sinθ－cosθ＝23或－23.又∵θ∈0，π4，∴sinθ－cosθ＝－23.12345解析答案3.已知sin(π－α)＝log814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为()A.－255B.255C.±255D.52解析sin(π－α)＝sinα＝log814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cosα＝1－sin2α＝53，Btan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝255.12345解析答案4.化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝______________.解析原式＝tanα·cosα·cosα－cosα·sinα＝－1.－112345解析答案解析∵f[f(2016)]＝f(2016－16)＝f(2000)，5.已知函数f(x)＝2cosπ3x，x≤2000，x－16，x2000，则f[f(2016)]＝________.∴f(2000)＝2cos2000π3＝2cos23π＝－1.－112345解析答案返回题型分类深度剖析例1(1)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A.－43B.54C.－34D.45解析由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ＋sinθcosθcos2θ－2sin2θcos2θ＋1＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.D同角三角函数关系式的应用题型一解析答案(2)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A.－32B.32C.－34D.34解析∵5π4＜α＜3π2，又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，B∴cosα＜0，sinα＜0且cosαsinα，∴cosα－sinα＞0.∴cosα－sinα＝32.解析答案思维升华已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα等于()A.－1B.－22C.22D.1解析由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα得：2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，A∴tanα＝tan3π4＝－1.跟踪训练1解析答案例2(1)已知sin2015π2＋α＝13，则cos(π－2α)的值为()A.13B.－13C.79D.－79解析因为sin2015π2＋α＝13，所以cosα＝13，所以cos(π－2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝－29－1＝79.故选C.C诱导公式的应用题型二解析答案(2)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2}解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.∴A的值构成的集合是{2，－2}.C解析答案思维升华解析∵π3－α＋π6＋α＝π2，(1)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α＝________.＝sinπ3－α＝12.∴cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α12跟踪训练2解析答案(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝_____.解析原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.1解析答案例3(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用题型三解析答案(2)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝_____________.解析∵方程5x2－7x－6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝－35－45＝34，∴原式＝cosα－sinαsinα·cosα·tan2α＝－tan2α＝－916.－916解析答案思维升华(1)已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)等于()A.35B.－35C.45D.－45解析由已知sinπ2＋α＝35，得cosα＝35，∵α∈0，π2，∴sinα＝45，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－45.D跟踪训练3解析答案(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2＜α＜π，则sinα－cosα等于()A.0B.12C.32D.43解析答案返回思想与方法系列思维点拨利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.典例(1)已知sinα＝255，则tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝________.(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，则C＝________.思想与方法系列6.分类讨论思想在三角函数中的应用解析答案温馨提醒思维点拨返回思想方法感悟提高同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.方法与技巧2.三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝sinxcosx化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ＝tanπ4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤.1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.(2015·福建)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B.－125C.512D.－512解析∵sinα＝－513，且α为第四象限角，∴cosα＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝－512，故选D.D解析答案2.已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinα·cosα等于()A.25B.－25C.25或－25D.－15解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sinα＝－2cosα，B∴tanα＝－2，∴sinα·cosα＝sinα·cosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝－25，故选B.123456789101112131415解析答案3.若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A.3B.－3C.1D.－1B故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.解析由角α的终边落在第三象限得sinα＜0，cosα＜0，123456789101112131415解析答案4.已知2tanα·sinα＝3，－π2α0，则sinα等于()A.32B.－32C.12D.－12B解析由2tanα·sinα＝3得，2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－π2α0，解得cosα＝12(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－32.123456789101112131415解析答案5.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为()A.－1B.1C.3D.－3解析∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.D123456789101112131415解析答案6.已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝____________.解析因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74.－74123456789101112131415解析答案7.化简：sin2α＋π·cosπ＋α·cos－α－2πtanπ＋α·sin3π2＋α·sin－α－2π＝________