第13章 轴向拉伸与压缩

第13章轴向拉伸与压缩本章学习要点轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩时横截面上的内力轴向拉伸与压缩时横截面上的应力拉压变形与胡克定律材料在拉伸与压缩时的力学性能许用应力与安全系数轴向拉伸与压缩时的强度计算应力集中的概念13.1轴向拉伸与压缩的概念在工程实际中，许多构件都受到拉伸和压缩的作用。如图所示起重机吊架中，AB杆受到沿轴线拉力的作用，沿杆件轴线产生伸长变形；而BC杆则受到沿轴线的压力作用，沿轴线产生缩短变形。虽然这些杆件的形状不同，加载和联接方式有所差异，但都可以简化成如下图所示的计算简图。其共同特点为：作用于直杆两端的两个外力等值、反向，且其作用线与杆的轴线重合，杆件产生沿轴线方向的伸长（或缩短）。这种变形形式称为轴向拉伸（或轴向压缩），这类杆件称为拉杆（或压杆）。13.2轴向拉伸与压缩时横截面上的内力13.2.1内力的概念构件工作时承受的载荷、自重和约束反力等均属外力。当构件受到外力作用时，构件的形状、尺寸以及内部各质点间的相对位置将发生变化，同时构件内各部分之间相互作用的力也将随之改变。这种由于外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。内力的大小及其在构件内部的分布规律随外力的改变而变化，同时与构件的强度、刚度以及稳定性等问题密切相关。13.2.2截面法将构件假想地切开以显示内力，并由平衡条件建立内力与外力之间的关系方程，进而求解内力的方法，称为截面法。利用截面法求解内力的一般步骤为：（1）在需求内力处，用一个垂直于轴线的截面将构件假想地切成两部分；（2）任取其中一部分（通常取受力情况较简单的部分）为研究对象，弃去另一部分，在截面处用内力代替弃去部分对保留部分的作用；（3）建立保留部分的平衡方程，并求解该截面的未知内力。13.2.3轴力和轴力图如左图所示为一个两端受轴向拉力F作用的拉杆。欲求杆中任一横截面上的内力，可用截面І-І将杆假想地截开，取左段为研究对象，弃去右段。用分布内力的合力FN来替代右段对左段的作用，如右图所示。建立平衡方程，可解得FN＝F。由于外力F的作用线是沿着杆的轴线，内力FN的作用线必通过杆的轴线，故内力FN又称为轴力。轴力的正负，由杆的变形确定。当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，其轴力为正；反之，杆件受压缩短，其轴力为负。通常未知轴力均按正向假设。例如，在取右段为研究对象时，采用这一正负号规定，所求得的轴力的大小、正负号与上述结果相同。应当指出，截面上的内力是分布在整个截面上的分布力系，利用截面法求得的是这些分布力系的合力。在实际问题中，杆件所受外力的情况可能比较复杂，这时直杆各段的轴力将不相同。为了表示轴力随横截面位置的变化情况，用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件轴线的坐标表示轴力的数值，这样的图称为轴力图。13.3轴向拉伸与压缩时横截面上的应力如上所述，用截面法求得的内力是杆件横截面上分布的内力的合力，因此它不能确切地反映横截面上各点受力的强弱。由于材料的破坏通常是从受力最大的点处开始的，因此内力的大小不足以判断杆件是否具有足够的强度。要表达截面上某一点处的受力强弱必须引入应力的概念。应力是指横截面上某点处分布内力的集度。在一般情况下，受力构件横截面上的应力是逐点变化的。尽管求出了构件横截面上的内力，如果不知道应力在横截面上的分布规律，各点处的应力也是无法确定的。由于受力构件内各点处的应力是伴随着各点处的变形同时发生的，因此应力的情况可从变形的情况反映出来。为了确定拉伸或压缩时直杆横截面上的应力，必须首先研究杆件的变形情况。为此，取一等直杆，先在它的侧面画上两条垂直于杆件轴线的横向线ab与cd，如图所示。然后，在杆的两端施加一对轴向拉力F，使杆发生伸长变形。可以观察到，两条横向线仍为垂直于杆件轴线的直线，只是平行移动到a1b1与c1d1的位置，如下图所示。根据该变形现象可作出平面假设：原为平面的横截面，在杆件变形后仍为平面。式中，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。设想杆件是由无数纵向纤维组成的，则根据平面假设，可以推断出自杆的表面到内部所有纵向纤维的伸长都相等，所以各纵向纤维的受力亦相等。由此可以推知，应力在横截面上是均匀分布的，并且是垂直于横截面的正应力σ，如图所示。拉杆横截面上正应力σ的计算公式为：NFA13.4拉压变形与胡克定律13.4.1纵向变形与横向变形设圆截面拉杆原长为l，直径为d，受轴向拉力F后，变形为如图所示的虚线的形状。纵向长度由l变为l1，横向尺寸由d变为d1，则杆的纵向绝对变形和横向绝对变形分别为11,lllddd线应变表示杆件的相对变形，是一个无量纲的量。可以看出，拉杆的纵向线应变为正，横向线应变为负。试验表明，当应力不超过某一限度时，纵向线应变ε和横向线应变ε'之间存在比例关系，且符号相反，即为了度量杆的变形程度，用线应变（单位长度内杆的变形）来衡量。于是，拉杆的纵向线应变为横向线应变为式中比例系数μ称为材料的泊松比。1lllll1ddd'dd'试验表明，当杆内应力不超过材料的某一极限值时，杆的绝对变形量Δl与轴力F和杆长l成正比，与横截面面积A成反比，即13.4.2胡克定律引入比例常数E，则有或者上式称为胡克定律。式中，常数E称为材料的弹性模量。FllAFllEANFllEA从而，可以得到胡克定律的另一种表达形式对于杆件来说，分母EA越大，则杆件的绝对变形Δl越小，所以EA称为杆件的抗拉（压）刚度，它表示杆件抵抗拉伸（压缩）变形能力的大小。此外，对于上式，由于此式表明，若应力未超过某一极限值，应力与应变成正比。N,FlAlE13.5材料在拉伸与压缩时的力学性能13.5.1材料的拉伸与压缩试验力学性能是指材料在外力作用下，在强度和变形方面所表现出的性能。它是强度、刚度和稳定性计算时的重要依据。拉压试验通常是在万能材料试验机上进行的。试验所用试件按国家有关标准加工而成。如下图所示为常用的圆截面拉伸标准试件，其中标距l和直径d之比常取l＝5d和l＝10d两种。试验时，将标准试件装夹在试验机上，试验机对试件缓慢加载，使试件产生变形甚至破坏。通过试验机上的测量装置，测定试验过程中试件所受载荷的大小及变形情况等数据，并由此测出材料的力学性能。13.5.2材料在拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢一般是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。由于低碳钢在工程上应用广泛，其力学性能又具有典型性，因此常用来作为塑性材料的代表，以描述塑性材料的特性。如右图所示为Q235钢的应力-应变曲线。其中纵坐标为试件横截面上的正应力σ＝F/A；横坐标为试件在标距内的应变ε＝∆l/l。从图中可以看出，整个拉伸过程大致分为四个阶段。现分别说明如下：（1）弹性阶段在拉伸的初始阶段，σ与ε的关系为直线OA，这表示在这一阶段内σ与ε成正比，即这就是拉伸或压缩的虎克定律。式中E为与材料有关的弹性模量。从σ-ε曲线的直线部分可以看出直线OA的最高点A所对应的应力，称为比例极限，用σp来表示。Q235钢的比例极限σp约为200MPa。当应力低于比例极限时，应力与应变成正比，材料服从虎克定律。EtanE超过比例极限后，从A点到B点，σ与ε之间的关系不再是直线。但变形仍然是弹性的，即解除拉力后变形将完全消失。B点所对应的应力是材料出现弹性变形的极限值，称为弹性极限，用σe表示。在σ-ε曲线上，A、B两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。在应力大于弹性极限后，如解除拉力，则试件变形的一部分随之消失，但还残留下一部分不能消失的变形。前者是弹性变形，后者就是塑性变形。（2）屈服阶段当应力超过B点增加到某一数值时，应变有非常明显的增加，而应力先是下降，然后在很小的范围内波动，在σ-ε曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段。这种应力先是下降然后基本保持不变，而应变显著增加的现象，称为屈服。屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料的性质。通常就把下屈服极限作为材料的屈服极限，用σs来表示。Q235钢的屈服极限σs约为240MPa。当材料屈服时，将引起显著的塑性变形。而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限σs是衡量材料强度的重要指标。（3）强化阶段经过屈服阶段之后，材料又恢复了抵抗变形的能力，此时，要使它继续变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。强化阶段中的最高点D所对应的应力，是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用σb表示。Q235钢的强度极限σb约为400MPa。（4）颈缩阶段过E点后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成颈缩现象，如图所示。颈缩部分横截面面积迅速减小，最终导致断裂。材料的塑性试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形依然保留。工程上常用试件拉断后残留的塑性变形来表示材料的塑性性能。常用的塑性指标有两个：式中，l为标距的原长，l1为拉断后标距的长度；A为试件初始横截面积，A1为拉断后颈缩处的最小横截面积。工程上通常把伸长率δ≥5%的材料称为塑性材料，如钢材、铜和铝等；把δ5%的材料称为脆性材料，如铸铁等。低碳钢的伸长率δ＝20%～30%，断面收缩率ψ＝60%～70%，故低碳钢是很好的塑性材料。1100%lll1100%AAA伸长率断面收缩率铸铁拉伸时的力学性能对于脆性材料，例如铸铁等，从受拉到断裂，变形始终很小，既无屈服阶段，也无颈缩现象。右图所示为铸铁拉伸时的应力-应变曲线，断裂时的应变只不过为0.4%～0.5%，断口垂直于试件轴线。铸铁应力-应变曲线的另一特点是：当应力不大时，应力和应变一开始就不成正比。但是，在实际使用的应力范围内，应力-应变曲线的曲率很小，因此，在实际计算时常以直线（图中的虚线）代替。13.5.3材料在压缩时的力学性能一般细长试件在轴向压缩时易因失稳而折损，所以在金属的压缩试验中，通常使用短粗圆柱形试件，其高度为直径的1.5～3倍。低碳钢压缩时的应力-应变曲线如右图所示。可以看出，在屈服阶段以前，压缩曲线与拉伸曲线基本重合，压缩时的屈服应力与拉伸时的屈服应力大致相同。但是，随着压力继续增大，低碳钢试件将越压越“扁”，可以产生很大的塑性变形而不破裂，故无法测出材料的抗压强度极限。铸铁压缩时的应力-应变曲线如下图所示，与拉伸曲线相似，其正比阶段也较短。不同的是，抗压强度极限远高于抗拉强度极限（约3～4倍），所以脆性材料宜用作受压构件。铸铁试件压缩时的破裂断口与轴线约成45°倾角。13.6许用应力与安全系数13.6.1极限应力工程材料所能承受的应力，是有一定限度的。使材料丧失正常工作能力时所产生的应力称为极限应力，用σ0表示。由材料的力学性能可知，对于塑性材料，当应力到达屈服极限σs时，构件将发生明显的塑性变形，从而影响其正常工作。所以一般把屈服极限作为塑性材料的极限应力。而对于脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是脆性材料破坏的唯一标志，因此把断裂时的强度极限σb作为脆性材料的极限应力。因此，塑性材料脆性材料0s0b13.6.2许用应力与安全系数在工程计算中允许材料承受的最大应力，称为许用应力，用[σ]表示。这是由于构件承受的荷载难以精确估计，材料质地的不均匀性，计算方法的近似和构件在工作中的腐蚀与磨损等，都要求材料具有一定的强度贮备。因此，材料的许用应力应低于其极限应力，其值等于极限应力值除以大于1的系数n。塑性材料脆性材料ssnbbn式中，ns和nb均为大于1的系数，称为安全系数。13.7轴向拉伸与压缩时的强度计算13.7.1强度条件此条件称为拉（压）杆的强度条件。在轴向拉伸和压缩时，为保证拉（压）杆件有足够的强度，必须要求其最大工作应力σmax不得超过材料的许用应力。即对于等直杆，因横截面面积是常数，此时上式变为：如果拉（压）杆等轴力，则有：NmaxmaxFA