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牛吃草问题核心点拨1、题型简介牛儿吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出的。典型牛儿吃草问题通常给出不同头数的牛吃同一片草，这片草地既有原有的草，又有每天新长出的草，假设草的变化速度及原有存量不变，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。掌握牛儿吃草问题，可以帮助同学们解决原有存量的负载量“如原有草量可供几头牛吃多少天”问题。2、核心知识y=（N-x）×Ty代表原有存量（比如“原有草量”）；N代表促使原有存量减少的消耗变量（比如“牛数”）；x代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”，也就是每天生长的草量为x头牛一天吃的草量），如果草自然减少，“-”变为“+”；T代表存量完全消失所耗用的时间。只要是标准型牛儿吃草问题、牛羊同吃草问题、M头牛吃W亩草问题三种类型，便可套用以上公式。3、核心知识使用详解（1）有牛有羊时，需要将牛全部转换为羊，或者将羊全部转换为牛，再代入公式计算；（2）出现“M头牛吃W亩草”时，N用“M/W”代入，此时N代表单位面积上牛的数量。夯实基础1.标准型牛儿吃草问题例1：有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用8台抽水机10小时能把全池水抽干或用12台抽水机6小时能把全池水抽干。如果用14台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是：A.5小时C.3小时D.5.5小时B.4小时【答案】A“用8台抽水机10小时能把全池水抽干”，相当于消耗变量1为8，存量完全消失所耗用的时间1为10。“用12台抽水机6小时能把全池水抽干”，相当于消耗变量2为12，存量完全消失所耗用的时间2为6。“如果用14台抽水机把全池水抽干，则需要的时间是”，相当于消耗3为14，求存量完全消失所耗用的时间3。[解析]】依题意：设池中泉水的原有存量为y；每小时涌出的水量即自然增长速度为x；14台抽水机将泉水存量完全消失所耗用的时间3为T小时。代入公式：所以，选A。2.牛羊同吃草问题例2：牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？（）A.2B.C.D.8【答案】B将题目中的“羊”全部转换为“牛”。“这些草供给20头牛吃，可以吃20天”，相当于消耗变量1为20，存量完全消失所耗用的时间1为20。“供给100头羊吃，可以吃12天”、“1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量”，相当于消耗变量2为100/4＝25，存量完全消失所耗用的时间2为12。“那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？”，相当于消耗变量3为20＋100/4＝45，求存量完全消失所耗用的时间3。[解析]根据题意：设牧场上青草的原有存量为y；草每天的生长速度即自然增长速度为x；20头牛，100只羊同时吃这片草可以吃的天数即存量完全消失所耗用的时间3为T天。代入公式：所以，选B。3.M头牛吃W亩草问题例3：如果22头牛吃33亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40亩牧场的草，需要多少头牛？（）A.50B.46C.38D.35【答案】D此题属于M头牛吃W亩草问题，将单位牧场的牛数代入“N”。“如果22头牛吃33亩牧场的草，54天后可以吃尽”，相当于消耗变量1为22/33，存量完全消失所耗用的时间1为54。“17头牛吃28亩牧场的草，84天可以吃尽”，相当于消耗变量2为17/28，存量完全消失所耗用的时间2为84。“那么要在24天内吃尽40亩牧场的草，需要多少头牛？”，相当于存量完全消失所耗用的时间3为24，求消耗变量3。[解析]根据题意：单位牧场草的原有存量为y；单位时间草的增长量即自然增长速度为x；要在24天内吃尽40亩牧场的草需要牛的头数即消耗变量3为N。代入公式：所以，选D。进阶训练1.标准型牛儿吃草问题例4：春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅人口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。现决定使大厅人口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，并在2小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为：A.15B.16C.18D.19【答案】C“如果开10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票”，相当于消耗变量1为10，存量完全消失所耗用的时间1为5。“如果开12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票”，相当于消耗变量2为12，存量完全消失所耗用的时间2为3。“在2小时内使大厅中所有旅客买到票”，相当于存量完全消失所耗用的时间3为2，求消耗变量3。[解析]根据题意：设售票大厅旅客的原有存量为y；每小时买好票的旅客即自然增长速度为x；“现决定使大厅人口处旅客速度增加到原速度的1.5倍”，即自然增长速度变为1.5x；2小时内使大厅中所有旅客买到票至少应开售票窗口数即消耗变量3为N；代入公式：所以，选C。例5：有一水池，在某次大雨后灌满了一池水，水在池底以均匀的速度渗走进入深层地下水。如果想把水池的水抽干，8台抽水机需要3小时，5台抽水机需要4小时。如果想在6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？（）A.4B.3C.2D.1【答案】C“8台抽水机需要3小时”，相当于消耗变量1为8，存量完全消失所耗用的时间1为3。“5台抽水机需要4小时”，相当于消耗变量2为5，存量完全消失所耗用的时间2为4。“如果想在6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？”，相当于存量完全消失所耗用的时间3为6，求消耗变量3。[解析]根据题意：设池水的原有存量为y；水在池底的渗走的速度即自然增长速度为x，由于是减少量，“－”变为“＋”；6小时之内抽干水至少需要抽水机的台数即消耗变量3为N。代入公式：所以，选C。2.M头牛吃W亩草问题例6：某船的若干个排水舱因故障渗进了相同多的海水，并且还在以相同且恒定的速度渗进更多的海水。船长分别指派24个、50个、36个水手去处理船头（4个排水舱）、船中（10个排水舱）和船尾（8个排水舱）的渗水。6分钟后，船头处理完毕，再过3分钟，船中处理完毕，请问再过几分钟船尾可以处理完毕？A.1B.2C.3D.4【答案】C此题属于M头牛吃W亩草问题，单位排水舱的水手数代入“N”。“船长分别指派24个、50个、36个水手去处理船头（4个排水舱）、船中（10个排水舱）和船尾（8个排水舱）的渗水。6分钟后，船头处理完毕，再过3分钟，船中处理完毕，”，相当于消耗变量1为24/4，消耗变量2为50/10，消耗变量3为36/8，存量完全消失所耗用的时间1为6，存量完全消失所耗用的时间2为6＋3＝9，求存量完全消失所耗用的时间3。[解析]根据题意：单位排水舱水的原有存量为y；单位时间进水量即自然增长速度为x；处理船尾还需要的时间为T。代入公式：所以，选C。浓度问题1、题型简介化学定量分析常涉及溶液的配置和溶液浓度的计算，在实际生活中我们也常遇到溶液配比的问题，由此产生的许多问题归为浓度问题。公务员考试中浓度问题实际是从小学应用题演变而来的，其本质是比例问题。2、核心知识一般溶液是指将一种固体或液体溶于另一种液体（一般为水）中，得到的均匀混合物，被溶解的固体或液体为溶质，起溶解作用的液体（一般为水）为溶剂。浓度问题就是研究溶质、溶剂、溶液和浓度之间关系的问题。它们存在以下四个基本关系：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；溶质质量=浓度×溶液质量；；溶液质量=。（1）溶剂的变化——蒸发与稀释问题溶液蒸发水含量降低溶质浓度增加；溶质不变溶液稀释溶剂含量增加溶质浓度降低；利用相同溶质的不同比例求解溶剂变化的情况。（2）溶质变化——溶质的增减问题一般而言，直接计算溶质的增减比较复杂，由于溶剂与溶质对立而统一，大部分情况下，溶质变化的浓度问题需要通过计算溶剂的变化来反推浓度。（3）不同溶液的混合问题A.浓度呈规律性变化这类题往往具有多次操作，浓度不断变化且呈一定规律的特征。其关键是抓住浓度变化的统一规律，从而忽略掉每个步骤的分析过程，应用公式法，简化计算。B．无规律变化①某一溶液相对于混合后溶液，溶质增加；另一种溶液相对于混合后溶液，溶质减少。由于总溶质不变，因此增加的溶质等于减少的溶质。此类混合问题采用十字交叉法。②使用混合判定法，从选项入手，根据溶液混合特性，使用带入排除法解题。3、核心知识使用详解4、浓度问题主要有四种解决方法。其中，方程法具有思维过程简单的特点，适用于大部分浓度问题。因此，同学需要优先而扎实地掌握以不变应万变的方程法。（1）方程法一般来说，该方法有两个要素，第一是设未知数，要求易于求解；第二是找等量关系列出方程。浓度问题中往往以浓度作为未知数，这样等量关系易于表达，但也伴有浓度数值大多是小数不好计算的弊病，同学可在实际做题中细加体会。（2）特殊值法在很多情况下，同学可选取符合一般情况的特殊值求解。（3）十字交叉法十字交叉法主要用于解决加权平均值问题，在浓度问题中即混合浓度问题。两部分混合，第一部分的平均值为a，第二部分的平均值为b（这里假设a＞b），混合后的平均值为r，利用十字交叉法有：平均值交叉作差对应量第一部分ar-bA总体平均值r第二部分ba-rB得到等式：（r-b）÷（a-r）=A÷B。（4）混合特性判定法同学可从选项入手，根据溶液混合特性直接排除一些选项，通常与代入排除法混合使用。其优点在于可以省去繁琐的计算，但较依赖于命题者对选项的设置。在熟练掌握上述基本方法的前提下，有意识地运用该方法，可提高解题效率。（5）公式法多次混合问题公式：设原有盐水的质量为M，浓度为c0先倒出M0克盐水，再倒入M0克清水，如此重复n次后，溶液浓度cn为：先倒入M0克清水，再倒出M0克盐水，如此重复n次后，溶液浓度cn为：夯实基础.溶剂变化例1：当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少克？A.45B.50C.55D.60【答案】A“当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时”，表明考查的是蒸发问题。在此类问题中，溶质不变。“盐水重量为多少克”，本题要求的是溶液质量。[解析]应用方程法：假设最后盐水质量为x千克；根据“溶质不变”列方程：60×30%=x×40%；计算得x=45千克；所以，选A。例2：甲容器中有6%的食盐水300克，乙容器中有10%的食盐水120克。往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样，问倒入多少克水？A.100B.120C.180D.240【答案】D“往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水”，表明考查的是稀释问题。在此类问题中，溶质不变。“使两个容器的食盐水浓度一样”说明溶质之比等于溶液质量之比。[解析]两个容器中食盐的含量之比为：(300×6%)：(120×10%)=3：2；由于最后两个容器的食盐水浓度一样：故最后两个容器中食盐水的质量之比为3：2；设倒入x克水：则有(300+x)：(120+x)=3：2；解得x=240。.溶质变化例3：一个容器内装有10升酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满，这是容器里的酒精溶度是多少？A.35%B.37.5%C.40%D.42.5%【答案】B“一个容器内装有10升酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满”，表明溶质质量变化，步步求解。[解析]第一次加水后溶质变化为原来的：；第二次加水后变为原来的：；所求溶度为：；所以，选B。.不同溶液混合例4：从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，倒入蒸馏水将瓶加满，这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是：A.22.5%B.24.4%C.25.6%D.27.5%【答案】C[题钥]每次操作后，酒精浓度减小，且其变化呈现出一定的规律。[解析]根据题意：每次操作后，酒精浓度变为原来的（1000-200）/1000=0.8；故反复三次后浓度变为