题解第4章 随机变量的数字特征

1习题4.11.设随机变量X的分布列为X-313P0.40.20.4试求22(),(),(31).EXEXEX解根据随机变量期望的定义()(3)0.410.230.40.2EX，根据随机变量函数的期望的计算公式2222()(3)0.410.230.47.4EX，根据随机变量期望的性质22(31)3()137.4123.2EXEX.2.设二维随机变量(,)XY的联合分布列为YX0110.20.320.10.4试求232(),()EXYEXY.解根据随机变量函数的期望的计算公式22222()100.2110.3200.1210.41.9EXY3232323232()(10)0.2(11)0.3(20)0.1(21)0.45.2EXY.3.设有n个人N个房间，若每个人住到每个房间是等可能，且每个房间住的人数不受限制，求有人住的房间数的平均值.解令X表示有人住的房间数，且按如下方式引入随机变量(1,2,,)iXin：1,0,iX第i个房间有人住；第i个房间没人住.易知，12nXXXX，且iX的分布列为2iX01P1(1)nN11(1)nN因此121()()()()[1(1)]nnEXEXEXEXnN.4.据以往的资料，某人打一次电话的持续时间X(单位：分)的密度函数为3,02;44(),2;0,xxpxxx其它.求此人打一次电话的平均持续时间.解由题意，此人打一次电话的平均持续时间为230248()()43xEXxfxdxxdxxdxx分钟.5.设在某一规定的时间间隔里，某电器设备用于最大负荷的时间X(单位：分)的密度函数为22,01500;15003000(),15003000;15000,xxxpxx其它.求该电器用于最大负荷的平均时间.解由题意，该电器用于最大负荷的平均时间为1500300022015003000()()150015001500xxEXxfxdxxdxxdx分钟.6.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客从早晨八点的第X分钟到达底层侯电梯，且X服从区间[0,60]上的均匀分布.求该游客的平均等候时间.解由题意，X的密度函数为1,060;()600,.xpx其它3令Y表示游客的等候时间，则Y是X的如下函数：5,05;25,525;()55,2555;65,5560.XXXXYgXXXXX故该游客的平均等候时间为5250511()[()]()()(5)(25)6060EYEgXgxfxdxxdxxdx5560255511(55)(65)6060xdxxdx11.67分钟.7.设某种商品的每周需求量X是服从区间[10,30]上的均匀分布的随机变量，而经销商的进货数量为[10,30]中的某一整数.经销商每销售一单位的商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元.为使商品所获平均利润达到最大，试确定进货量.解设进货量为a，则利润为500300()300200,;(,)500100()600100,.aXaXaXaQQaXXaXXaXa由题意，X的密度函数为1,1030;()200,.xpx其它且该商品的平均利润为301011()(,)()(600100)(300200)2020aaEQQaxpxdxxadxxadx27.53505250aa，由于a取整数，结合一元二次函数求最值的方法知:当23a时，平均利润达到最大，此时的利润为9332.5元.8.一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该商品的需求量Y是两个随机变量，且相互独立，都服从区间[10,20]上的均匀分布，商店每销售一件商品盈利1000元；若供不应求可从外部调剂供应，这时每销售一件商品盈利500元；若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损200元.试求此商店经销该种商品的平均周利润.解设此商店经销该种商品的周利润为Q，则41000500()500500,;(,)1000200()1200200,.XYXYXXYQQXYYXYYXXY由题意，(,)XY的联合密度函数为1,10,20;(,)1000,.xyfxy其它则此商店经销该种商品的平均周利润为()((,))(,)(,)EQEQXYQxypxydxdy20202010101011[(500500)][(1200200)]100100xxyxdydxyxdydx36500121673元.7166.67？9.气体分子的运动速度X服从马克斯威尔分布，其密度函数为22334,0;()0,0.xaxexpxax设气体分子的质量为m，试求气体分子的平均动能.解设气体分子的动能为Q，则212QmX.从而，气体分子的平均动能为21()()2EQmxpxdx223230142xaxmxedxa22/txa33202tammatedt.10.保险公司开出的保险单规定:如果某个事件A在一年内发生了，保险公司必须付出一笔钱m.如果保险公司估计事件A在一年内发生的概率为p，保险公司向顾客收多少保费才能使得他们的平均收益达到m的10%.解设收取的保费为x，收益记为随机变量Y，则Y的分布列为YxxmP1pp5从而，平均收益为()(1)()EYxpxmp,令()10%EYm，可得公司需向客户收取的保费为(10%)xmp.11.某人参加面试，一共有问题1和问题2两个问题，他可以自行决定回答的顺序.如果他先回答问题i，那么只有回答正确，他才被允许回答问题()jji，否则就没有机会回答另一问题.如果他能正确回答问题i将得iV分,且他能正确回答问题i的概率为ip(1,2)i.试问他先回答哪个问题才能使平均得分达到最大？解设iY表示先回答问题i时的得分（1,2i），则1Y和2Y的分布列分别为1Y01V12VVP11p12(1)pp12pp1Y02V12VVP11p12(1)pp12pp从而有11211212()(1)()EYppVppVV，22121212()(1)()EYppVppVV,当12()()EYEY即11221211pVpVpp时，先回答问题1使得平均得分达到最大.当12()()EYEY即11221211pVpVpp时，先回答问题2使得平均得分达到最大.12.设某省内有三条高速公路，每天在高速公路上发生的事故数是服从泊松分布的随机变量，其参数分别为0.3,0.5和0.7.试求今天在高速公路上发生的事故总数的平均值.解令X表示今天高速公路上发生的事故总数，iX表示第i条公路上发生的事故数（1,2,3i），由题意知123XXXX，且今天在高速公路上发生的事故总数的平均值为123()()()()EXEXEXEX60.30.50.71.5.13.某人从家到公司相继要乘两条线路的公共汽车，乘各辆车的候车时间（单位：分）都服从区间[0,5]上的均匀分布，求他从家到公司用在候车上的平均时间.解令X表示某人从家到公司用在候车上时间，1X和2X表示某人从家到公司在相继两条线路上的候车时间，由题意知12XXX，且他从家到公司用在候车上的平均时间为1255()()()522EXEXEX分钟.习题4.21.某公司准备投资生产新产品，有两个产品：普通凉鞋和防雨制品，其年利润与气候是多雨或少雨有关.根据气象部门预报，当年气候多雨和少雨的概率分别为60%和40%.通过调查，该公司认为若气候多雨，生产普通凉鞋和防雨制品的年利润分别是42万元和100万元；若气候少雨，前者的年利润为37万元，而后者则亏损50万元.请问：该公司如何投资为好？解设投资生产普通凉鞋、防雨制品的年利润分别为X、Y，其分布列分别为两个投资方案的平均收益分别为()420.6370.440EX，()1000.6(50)0.440EY,而每个决策方案的方差分别为22()(4240)0.6(3740)0.46VarX，22()(10040)0.6(5040)0.45400VarX，由上面的计算结果知，两种投资方案的平均收益是一样的，而投资生产普通凉鞋所承担的风险要小的多，故应投资生产普通凉鞋.2.一个人有N把钥匙，每次开门时，他随机地拿出一把（只有一把钥匙能打开这道门），直到门打开为止.以X记到此时为止用的钥匙数（包括最后拿对的那一把）.按以下两种情况分别计算X的期望和方差：(1)试过打不开不再放回，(2)试过打不开仍然放回.解（1）该问题相当于抽签问题，每次打开门的概率都是1N，因此X的分布列为X4237P0.60.4Y10050P0.60.471()PXiN，1,2,,.iN从而11111()()2NNiiNEXiiNN，2221111(1)(21)()()6NNiiNNEXiiNN，故2221()()[()]12NVarXEXEX.（2）由题意，X的分布列为111()()iNPXiNN，1,2,,,iN,从而1111111()()()iiiiiNNEXinNNNN，22121211111()()()2iiiiiNNEXinnNNNN，故22()()[()](1)VXEXEXNN.3.从英文句子“Thegirlputonherbeautifulredhat”中任意挑出一个单词，用X表示单词所包含的字母个数，求()EX，()DX.解由题意，X的分布列为从而151115()234988884EX，22222151173()234988884EX故2267()()[()]16VarXEXEX.4.设随机变量X满足()()EXVarX，已知[(1)(2)]1EXX，试求.解由题意，221[(1)(2)]()3()2()[()]3()2EXXEXEXVarXEXEX，X2349P185818188即2321，解上述方程可得1.5.设连续型随机变量X服从参数为的指数分布，试求()EX，2(1)EX，()VarX，(2)VarX.解由题意，X的密度函数为1,0;()0,.xexpx其它从而0001()()()xxxEXxpxdxxedxxeedx，222220001()()()22xxxEXxpxdxxedxxexedx，故222(1)()2()1221EXEXEX，222()()[()]VarXEXEX，2(2)4()4VarXVarX.6.设随机变量X的分布函数为0,0;,01;2()1,11.5;21,1.5,xxxFxxxx试求()kkEX与(())kkvEXEX.解由题意，X的密度函数为1,01;2()1,11.5;0,.xpxx其它从而11.5110111()()1(32)22(1)kkkkkkkkEXxpxdxxdxxdxk.9特别的，1