圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,QQ为椭圆222212xybb上两个动点，且12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，求D的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)QxyQxy，00(,)Dxy,设直线12QQ方程为ykxm，联立222212ykxmxybb化简可得:22222222(2)42()0bkbxkmbxbmb，所以222222212122222222()(2),22bmbbmbkxxyybkbbkb因为12OQOQ所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121bmbbmbkmbmbkxxyybkbbkbkk22232(1)mbk又因为直线12QQ方程等价于为0000()xyyxxy，即200000xxyxyyy对比于ykxm，则002000xkyxymy代入中，化简可得：2220023xyb.解法二（齐次式）：设直线12QQ方程为1mxny，联立222222221111022mxnymxnyxyxybbbb圆锥曲线齐次式与点乘双根法22222()02xymxnybb化简可得:22222222202xymxnymnxybb整理成关于,xy,xy的齐次式：2222222(22)(12)40bnymbxmnbxy，进而两边同时除以2x，则22222222122212(22)412022mbbnkmnbkmbkkbn因为12OQOQ12OQOQ所以121kk，222212122mbbn22232()bmn又因为直线12QQ方程等价于为0000()xyyxxy，即200000xxyxyyy对比于1mxny，则0220002200xmxyynxy代入中，化简可得：2220023xyb.例2：已知椭圆2214xy，设直线l不经过点(0,1)P的直线交于,AB两点，若直线,PAPB的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系''xpy，如图所示：圆锥曲线齐次式与点乘双根法旧坐标新坐标(,)(',')xyxy即(0,1)(0,0)所以'''1'xxAAyyBB原来12121111PAPByykkxx则转换到新坐标就成为：1212''1''yyxx12''1kk即设直线l方程为：''1mxny原方程：2244xy则转换到新坐标就成为：22'4('1)4xy展开得：22'4'8'0xyy构造齐次式：22'4'8'('')0xyymxny整理为：22(48)'8'''0nymxyx两边同时除以2'x，则2(48)'8'10nkmk所以128''148mkkn所以12212mnmn而''1mxny1'()''1('')1022xnxnynxy对于任意n都成立.则：''0'2''2102xyxxy，故对应原坐标为21xy所以恒过定点(2,1).例3：已知椭圆22182xy，过其上一定点(2,1)P作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,AB两点，证明：直线AB斜率为定值.圆锥曲线齐次式与点乘双根法解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系''xpy，如图所示：旧坐标新坐标(,)(',')xyxy即(2,1)(0,0)所以'2''1'xxAAyyBB原来1212110021PAPByykkxx则转换到新坐标就成为：1212''0''yyxx12''0kk即设直线AB方程为：''1mxny原方程：2248xy则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8xy展开得：22'4'4'8'0xyxy构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0xyxmxnyymxny整理为：22'(48)''(48)(14)'0ynxynmmx两边同时除以2'x，则2(48)'(48)'140nknmkm所以1248''048nmkkn所以2nm而''1mxny'(2)'1210mxmymxmy.所以1=2k平移变换，斜率不变，所以直线AB斜率为定值12.圆锥曲线齐次式与点乘双根法二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右顶点分别为12,FF，线段12,OFOF中点分别为12,BB，且12ABB△是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B作直线l交椭圆于,PQ两点，使22PBQB，求直线l的方程.解：（1）221204xy（2）易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为：(2)ykx，1122(,),(,)PxyQxy因为22PBQB，则22=0PBQB，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0xyxyxxkxx现联立22222(2)5(2)2001204ykxxkxxy则方程2225(2)200xkx可以等价转化212(15)()()0kxxxx即2222125(2)20(15)()()xkxkxxxx令2x，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15kkkxxxxk令2x，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15kxxxxk结合21212(2)(2)(2)(2)0xxkxx化简可得：22280161601515kkk2222118016160641642kkkkk所以直线l方程为：1(2)2yx.