随机变量的定义定义

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量§2.2离散型随机变量及其分布律§2.3随机变量的分布函数§2.4连续型随机变量及其分布§2.5正态分布§2.6随机变量函数的分布1在第一章中,我们用样本空间的子集,即样本点的集合来表示随机试验的各种结果,这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限性。在本章中,我们将用实数来表示随机试验的各种结果,即引入随机变量的概念。这样,不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性,而且可使我们用微积分的方法来讨论随机试验。2SCHOOLOFSTATISTICSJUNBAIREN2.1随机变量一、随机变量概念的产生二、随机变量的定义一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念。41、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数)。例如，掷一颗骰子面上出现的点数;七月份南昌的最高温度；每天从南昌站下火车的人数;昆虫的产卵数。离散的连续的5例袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为543542532432541531431521421321，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1,2,3．因此,X是一个变量．但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量．X的取值情况可由下表给出：样本点黑球数X样本点黑球数X321，，3541，，1421，，2432，，2521，，2532，，2431，，2542，，1531，，2543，，1由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间Ω上的函数：wwXX我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如2X表示至少取出2个黑球这一事件，等等．22XwXw：表示取出2个黑球这一事件；样本点黑球数X样本点黑球数X321，，3541，，1421，，2432，，2521，，2532，，2431，，2542，，1531，，2543，，12、在有些试验中,试验结果看来与数值无关,但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说,把试验结果数值化。正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样,两者建立了一种对应关系。9Bernoulli试验中，A表示成功，可设10AX发生不发生ω.X(ω)R则X的取值随着试验的重复而不同,X是一个变量,且在每次试验中,究竟取什么值事先无法预知,也就是说X是一个随机取值的变量,由此,我们很自然地称X为随机变量。在随机试验中,如果把试验中观察的结果（样本点）与实数对应起来,即建立对应关系X(ω),使其对试验的每个结果ω,都有一个实数X与之对应,10此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是用w表示所有的元素。二、随机变量的定义定义：设随机试验E的样本空间是Ω={w}，如果对于每一个w∈Ω，有一个实数X(w)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的单值实值函数X=X(w)，且对任何一个实数是随机事件，称为随机变量,简记为X。,,awXwaw说明等来表示．、、、希腊字母或、、、文字母随机变量常用大写的英⑴ZYX,3),(xyz对于随机变量，我们常常关心的是它的取值，一般采用小写字母等表示.(4)我们定义随机变量的目的，是要用随机变量的取值来描述随机事件．2X随机变量不是实数的函数而是样本点的函数例一大批产品中次品率为p，从中任取n件，求其中最多有k件次品的概率。niinAi,,2,1,0件次品，件产品中有为设nXnX,,2,1,0则件产品中的次品数，为设件次品件产品中最多有为knBkAAAB10则个次品则可表示最多有kkX}{}{}1{}0{}{kXXXkX求P(B)}{kXP求注意：(a,b),与“aXb”不同。,abR是区间；=aXbaXb“”是随机事件。152020年3月25日1时13分随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对随机事件及其概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。事件及事件概率随机变量及其取值规律16三、随机变量的分类随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量连续型非离散型其它