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广义相对论简介授课教师：范忠辉fanzh@ynu.edu.cn云南大学物理科学技术学院“产生这个理论的基础是这样一种信仰，即相信惯性质量同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在理论物理的原理中找到它自身的反映。”——爱因斯坦“广义协变原理的意义在于它关于引力效应的表述，即一个物理方程如果在没有引力时是正确的，由于它的广义协变，在有引力场时也是正确的。”——温伯格2020/3/25广义相对论_数学基础2第二章广义相对论的数学基础第一节.广义协变原理的基本思想第二节.张量分析第三节.黎曼几何2020/3/253广义相对论_数学基础一.广义协变原理的基本思想广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。协变（covariant）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。那么怎样才能得到这种广义协变方程？广义协变原理的基本思想：设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就是广义协变的。因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律的方法。2020/3/25广义相对论_数学基础4张量（tensor）张量:是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。从几何角度讲，它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。2020/3/255广义相对论_数学基础2020/3/25广义相对论_数学基础6仿射空间为何引入仿射空间？仿射空间是数学中的几何结构,这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。（维基百科）向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。“在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。...（略）”可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减，即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离是个不变量，独立于坐标系。引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量代数和张量分析的基础。二.张量分析.2.1逆变和协变四元张量逆变四元矢量线元由四个“分量”来定义的，这些分量的变换规则这些表示为的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量。凡是对于坐标系用四个量来定义，并且以同样的规则来变换的，称为逆变四元矢量。2020/3/25广义相对论_数学基础7（2.1.1）2.1逆变和协变四元张量协变四元矢量如果对于每个任意选取的逆变四元矢量，有四个量，使则称为一个协变四元矢量。由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。把下面的方程右边的代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到因为在上面方程中是任意地自由选定的，由此得到变换规则2020/3/25广义相对论_数学基础8不变量（标量）（2.1.2）2.1二阶和更高阶的张量逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量和来构造所有16个乘积那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。协变张量：类似，可以构造二阶协变张量2020/3/25广义相对论_数学基础9（2.1.3）（2.1.4）（2.1.5）（2.1.6）2.1二阶和更高阶的张量任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。协变张量与逆变张量之间的区别在于变换规则：每一个指标的变换规则与坐标微分的逆变换相一致。指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。N维空间中的张量：标量：n0个分量；一阶张量：n1个分量；二阶张量：n2个分量；高（m）阶张量：nm个分量。2020/3/25广义相对论_数学基础102020/3/25广义相对论_数学基础11混合张量：既有逆变指标又有协变指标。最低阶的混合张量为二阶，变换规则如下一般讲，一个张量可有p个逆变指标，q个协变指标，即有形式称它为（p,q）阶张量。对称张量：一个二阶的或者更高阶的逆变张量或协变张量，如果由任何两个指标相互对调而产生的两个分量都是相等的，那么就说它是对称的。反对称张量：分量都是反号等值的。在16个分量当中，有四个分量等于零；其余的都一对对反号等值，这样就只存在6个数值上不同的分量（六元矢量）。同样，三阶的只有四个不同的分量，四阶的只有一个分量。在四维时空连续区内，不存在高于四阶的反对称张量。2.2张量的运算由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一点上的两个张量进行运算。张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同阶。如张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如张量的内乘：外乘后再缩并。如2020/3/25广义相对论_数学基础122.3矢量的平移和仿射联络若给定一张量场，对不同两点的张量进行加减是进行张量微分运算的基础。而在曲线坐标系中张量的代数运算必须在同一点进行，对不同点的张量如何进行加减运算？为使微分运算不破坏张量性质，引入一种新的操作，称张量的平移。为实现张量平移所要的新概念就是仿射联络。下面以协变矢量的平移来引入仿射联络：这里的比例系数就叫做P点的仿射联络。要求在Q点具有协变矢量的性质，即利用变换矩阵的微分关系2020/3/25广义相对论_数学基础13（2.3.2）（2.3.1）2020/3/25广义相对论_数学基础14则（2.3.1）式可写作把关系式带入上式，略去坐标微分的二级小量，并注意所得的式子对任意的和适用，得到即（2.3.3）式就是仿射联络的变换公式。逆变矢量，有（2.3.3）（2.3.4）仿射联络的性质仿射联络的唯一限制是它必须满足变换式（2.3.3）联络的对称组合也是一种联络，它叫对称联络，即其下标是对称的。联络的反称组合是一个下标反称的张量，称为仿射空间的挠率张量。若挠率张量为零，则联络是对称的。一个非对称的联络总可表示为对称联络和挠率张量之和2020/3/25广义相对论_数学基础152.4张量的协变微商在张量平移的基础上，对张量场定义一种新的微商，称为协变微商。张量场求协变微商后，仍将具有张量的性质。标量的微商：上式表明标量的的普通微商自动具有张量的性质。协变微商用表示，则标量的协变微商协变矢量的普通微商显然不再是一个张量。2020/3/25广义相对论_数学基础16（2.4.1）2020/3/25广义相对论_数学基础17为使协变微商后仍是张量，利用平移操作，定义为其中，代入（2.4.2），则得到（2.4.3）式即为协变矢量的协变微商公式。为二阶协变张量。逆变矢量的协变微商公式：把式代入得到，协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。（2.4.2）（2.4.3）（2.4.4）2020/3/25广义相对论_数学基础18逆变矢量的协变微商公式的另一种推导：逆变矢量与任意协变矢量可构成标量，利用标量的协变微商公式（2.4.1），有即：对利用协变矢量的微商公式，则得考虑到为任意矢量，于是有高阶张量的协变微商：类似上面的作法。如对二阶混合张量，它与两个任意矢量和可构成标量。因此有可导出：（2.4.5）作业推导书中p17中的（1.4.9）、（1.4.10）、（1.4.11）2020/3/25广义相对论_数学基础19（2.4.6）（2.4.7）2.5引力等效原理说，在空－时的任一点，我们可以建立一个使物质满足狭义相对论规律的局部惯性系。前面提到，Gauss曾假设在曲面的任一点上，可建立一个使距离遵从毕达哥拉斯定理的局部Descartes（笛卡尔）坐标系。两者的深刻类比，我们可以预期引力定律和Riermann几何公式之间存在相似。Gauss假设隐含着：一个曲面上的所有内在性质可以通过把曲面上某个一般坐标系变到局部Descartes坐标系的变换的的函数的偏导数来描写。而等效原理告诉我们：引力场的全部效应可以通过确定从“实验室”坐标系到局部惯性坐标系的偏导数来描写。前面给出曲面上两点之间的距离为简写为几何上与偏导数有关的函数就是。引力场也是同样的方法描述。2020/3/25广义相对论_数学基础202.5引力考虑在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子。由等效原理，存在一个自由降落的坐标系，粒子在这个坐标系里的运动方程是空－时中的一条直线，即其中是原时现在假设采用任意别的坐标系，它可以是静止于实验室的Descartes坐标系，也可以是曲线的、加速的、旋转的或我们想要的任何其它的坐标系，自由降落坐标是的函数，（2.5.1)变为2020/3/25广义相对论_数学基础21（2.5.1）（2.5.2）2.5引力乘以，利用乘积规则：就得到运动方程：其中，是仿射联络，定义为原时（2.5.2）也可以用任意的坐标系表示成或其中，是度规张量，定义为2020/3/25广义相对论_数学基础22（2.5.3）（2.5.4）（2.5.5）（2.5.6）（2.5.7）2.5引力在任意坐标系里的一点X处的度规张量和仿射联络的值提供了足够的信息来确定在X点邻域的局部惯性坐标。首先，用乘方程（2.5.4），并利用乘积规则由此，得到的微分方程它的解是（泰勒展开）其中由（2.5.7），可知2020/3/25广义相对论_数学基础23（2.5.8）2.5引力因此，给定X处的和，局部惯性坐标就被确定到阶。由于