流动稳定性及转捩

粘性流体力学阎超北京航空航天大学(3.14)第五章流动稳定性及转捩1.前言流动有层流和湍流两种运动形态，自然界的绝大多数流动都是湍流；从层流状态转变为湍流状态的过程称为转捩；任何一种层流，都存在一个临界雷诺数，当流动雷诺数大于临界雷诺数后，小扰动会在层流中发展起来，使其失去稳定性而变成湍流。流动稳定性研究的关键问题是分析扰动随时间的演化。湍流、转捩、流动稳定性都是当代流体力学中的热点和难点问题，意义很大，但仍然没有解决，是科学技术史上经典的难题。转捩问题的重要性首先在于层流时物体所受的阻力及传热能力和湍流时是大不一样的，人类希望了解并控制转捩。转捩对传热影响的例子（AIAA1998）雷诺实验雷诺实验(Reynods1883)：在雷诺数小于2000时，流动保持一条直线，流动为层流状态。雷诺数增大（如提高流速），染色流线在下游某点发生变化，从剧烈振荡到破裂，并很快和清水剧烈掺混以至不能分辨出染色线，管中的流动变为湍流。研究此时的闪光照片发现，这时的流体仍可分辨出一簇簇清晰的卷曲流丝和旋涡,这些旋涡以高达几千赫兹的频率作三维运动。由于湍流时色线的掺混主要是微团沿与主流垂直方向的脉动引起的，这种脉动运动大大加强了沿法向的动量传递，使管流和边界层等的速度剖面在层流和湍流状态有相当大的差别，湍流的壁面摩阻、热交换等比层流大的多。由于转捩对摩阻、热交换、流动的分离位置以及边界层的增长率等都有很大影响，因此研究转换有重要的实际意义。一般希望推迟转捩，可以减少阻力和热传导，如可以减少飞机阻力，对于再进入大气层的宇宙飞船就可减少传入的热量。有时也希望提前转捩，如有些飞机翼面上装了旋涡发生器，可使转捩提前，利用湍流动量传递强的特点防止流动过早分离和可能的失速。由于转捩控制的巨大实用意义，它一直是粘性流体动力学的重要研究课题之一。流动失稳只是转捩过程的开始而不是全过程。稳定性理论不能描写转捩的全过程。目前也没有一种理论能描写它的全过程。第五章流动稳定性及转捩2.流动稳定性流动稳定性定义：如果流动使小扰动逐渐减弱且最后消失，使流动恢复到受扰动前的状态，则流动是稳定的；相反，如果该扰动逐渐增长或始终以某种方式存在，使流动不能再恢复到以前的状态，则流动是不稳定的。低雷诺数时在扰动作用下仍能保持层流状态表明流动是稳定的；而在高雷诺数时不能保持层流状态表示这时的层流状态是不稳定的。流体的稳定性可由对扰动的反应来判断，一般有能量法和小扰动法。能量法通过分析扰动能量的衰减或增长来判断稳定性，目前应用较少。小扰动法通过分析小扰动振幅的衰减或增长来判断稳定性。是目前最流行的方法，它也分为2种：a从无限小扰动的假设出发，使控制方程线性化，由此建立线性稳定性理论，该理论发展的较完善;b研究更加符合实际的有限振幅扰动，反映非线性影响，即非线性稳定性理论，这种理论更复杂，还在发展中。现研究用小扰动法处理稳定性问题的一般数学表述：设流动不可压、粘性为常数、忽略彻体力。将速度和压强写为两部分之和：式中：Uk和P可取为平均速度和平均压力，uk′、p′为小扰动量将上式带入NS方程，考虑到Uk和P本身满足NS方程，并设扰动量足够小，所以略去扰动量之间的乘积项，有：这是关于小扰动量的微分方程组，是线性方程组。对上方程取散度并整理可得：这是关于扰动压力p′的泊松方程，其解可写为：即：任给一初始扰动速度场，可解得一初始扰动压力场。则方程组的解由给定的初始扰动速度场确定。于是稳定性就归结为在给定的初始条件下扰动量是增长还是衰减。用分离变量法和特征值方法可得上述方程组的解：所以稳定性归结为：若存在特征值l，其虚部大于零，由解可见，扰动随时间无限增长，故流动不稳定；相反，若所有的特征值l的虚部都小于零，则扰动将随时间而衰减、消失，流动稳定。以上推导的是无限小扰动——线性稳定性。一般来说，对无限小扰动是不稳定的流动对有限扰动更不稳定；而对无限小扰动是稳定的流动对有限扰动可能不稳定第五章流动稳定性及转捩3.二维平行流的小扰动方程平版层流稳定性的研究始于托尔明－施里斯廷（Tollmien-Schlichting）,他们给出了小扰动在Blassius边界层内消长的理论分析，后人将一个单一的傅立叶分量的小扰动在空间和时间引起的周期性波动，称为托尔明－施里斯廷波（简称T-S波）。平面平行流中控制小扰动演化的线性稳定性方程，奥尔——索末菲尔德方程（Orr-Sommerfield方程，简称O－S）方程。O-S方程原理：在二维平均的层流中，加上一可用若干个X方向的扰动叠加而成的初始扰动，即扰动可以分解为Fourier级数之和，由于小扰动是线性的，由叠加原理，仅需分析级数和中一项就可以看出扰动量的性质，二维平行流的小扰动方程的推导：将速度u写为平均速度和扰动速度之和：根据同上节相似的推导过程，可推导出著名的O-S方程：式中：c为的本征值，（y）是振幅函数的初始值，代表x方向单位距离上波长个数的2倍，称为波数，Re为雷诺数。cuddydudyddyddyiRe222224422242uuuuuvv,O-S方程是关于扰动流函数的振幅函数的一个四阶常微分方程，是1908年提出，其计算遇到了很大的困难。经过许多著名科学家的努力（包括林家翘），到1945年才形成了基本上严格的理论，求得了比较简单的平行流层流如平板层流边界层的流动稳定和不稳定的分界线——中性曲线。目前，由于计算机和计算技术发展很快,人们已基本上不用上述的解析理论，而是广泛采用数值求解的方法，如差分法、打靶法、谱方法等.所预测的小扰动在一定条件下放大，只是转捩到湍流的第一步。并不能完全解释湍流的产生。下面的～Re图是一中性曲线实例图：雷诺数小于某一临界值时，原层流稳定；高于临界雷诺数后，有一部分波数的小扰动会随时间指数规律增大，进入线性不稳定区。阅读材料：稳定性理论的发展历史及现状在Reynolds通过实验证实圆管流动存在层流和湍流两种不同流态后不久，就有人提出了是由于层流失稳导致了转捩的理论猜想。到20世纪初，对粘性流动，Orr和Sommerfeld建立了研究平行流稳定性的小扰动方程，即Orr－Sommerfeld方程（以后称O－S方程）。为了解这一方程，从理论上说明雷诺数大时层流是不稳定的，且具体将临界雷诺数算出来，足足花了20多年的时间。而且，虽然理论工作者在1929年已经求解了O－S方程，但在实验上观察到与之对应的现象，却是1943年的事。由此可见问题的复杂性。阅读材料：稳定性理论的发展历史及现状到20世纪50年代，有关流动稳定性的线性理论已经弄清楚了，但并不能解决转捩问题，于是非线性理论应运而生。其实，早在1945年，苏联物理学家Landau已经提出了一种关于失稳导致转捩的机制，但并未形成具体的理论。1960年Stuart提出了有名的弱非线性理论，将Landau的设想更具体化了。这一理论曾一度被奉为经典，然而这一理论有很大的缺点。与此同时，从实验中发现了转捩过程中重要的非线性现象，更促进了非线性理论的发展。到70年代，非线性力学中的分叉理论被移植到流动稳定性理论中来，但这对边界层的转捩问题并未提供多少有用的帮助。80年代，从实验中又发现了转捩过程中的一些典型的非线性现象。有人提出了二次失稳理论及三波共振理论，对这些现象作了很好的说明。一时间，似乎转捩问题的解决已不是很遥远的事了。阅读材料：稳定性理论的发展历史及现状但是，事情比预想的要复杂的多。研究稳定性，就必须研究扰动的演化。不同的扰动会导致不同的结果。而扰动的形成，又与外界环境有关。外部的扰动如何转化为流动内部的扰动，又成了一个新的问题，称为感受性（Receptivity）问题。开始时人们想当然地将外流的湍流度和边界层中可能被激发出来的T—S波幅值联系起来，但实际上并非如此简单。经过20年的研究，对边界层外的扰动，特别是声波，如何在边界层中激发T—S波的问题，有了基本的认识。现在的认识是，只有在边界层的基本流有突变的地方，如边壁的局部突起处或前缘附着线处，外部扰动才能有效地激发边界层中的T—S波。但应用于具体的工程技术问题时，又牵涉到真实环境中有什么样的扰动问题，又是一个无法完全确定的问题。此外，还有所谓的“旁路”转换，即当外部扰动很大时，可以不经小扰动增长的阶段，很快从层流转换成湍流的情况。若究其原因和规律就更复杂了，至今还没有一个令人满意的解释。因此，要想完全通过理论预测转换，可能是一个不现实的要求。然而，无论如何，如果有了理论的指导，再结合实验和实践经验，人们对转捩的预测，终究会有一些办法的。阅读材料：稳定性理论的发展历史及现状近二三十年来，计算流体力学及计算机的发展很快，对简单及低Re流动，已经可以对湍流及转捩问题进行直接数值模拟。这对转捩过程的研究很有帮助。但要对如飞机、船舶等进行包括边界层中的转捩问题的直接数值模拟，在近来还是不可能的。也就是说，直接数值模拟还不能取代实验和理论研究。而且即使能作直接数值模拟，如何给定外部扰动或边界展中的初始扰动，仍是个无法完全确定的问题。以上所说的主要是不可压缩流的情况，对可压缩流，特别是超声速和高超声速流的问题，现在我们所知还不多，理论方面基本上只有线性理论的结果，实验和直接数值模拟都还有很大的困难。由于航空航天及其他一些工程技术问题对弄清层流至湍流的转捩有迫切的需要，尽管这一问题很困难，我们仍要努力去攻克它。实验的困难首先在于，在国内我们还没有可以运行较长时间的超声速、特别是高超声速实验装置，因而还不可能做类似于对不可压流所做过的那样细致的实验。