47.类周期函数

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:[phone])数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题[母题]Ⅰ(5-47):类周期函数(108)321类周期函数[母题]Ⅰ(5-47):(原创题)若定义在R上的函数f(x)满足:存在非零常数T,使得:x∈R,f(x+T)=f(x)+T,则称函数f(x)是“类周期函数”,T叫函数f(x)的“类周期”.关于“类周期函数”给出下列命题:①若函数f(x)=x,则f(x)是类周期函数;②若f(x)是类周期为T的类周期函数,则f(x-2T)=f(x)+2T;③若f(x)是类周期为T的类周期函数,且在[0,T]上的值域为[-T,T],则f(x)在[-T,2T]上的值域为[-2T,3T];④若f(x)=x+g(x),则f(x)是类周期函数的充要条件为g(x)是周期函数;⑤若f(x)是类周期为T的类周期函数,则y=f(x)的图像按向量a=(T,T)平移后所得图像与y=f(x)的图像重合.其中正确的命题是(写出所有正确命题的编号).[解析]:①由f(x)=xf(x+T)=x+T=f(x)+Tf(x)是类周期函数;②由f(x+T)=f(x)+Tf(x)=f(x-T)+Tf(x-T)=f(x)-Tf(x-2T)=f(x-T)-T=[f(x)-T]-T=f(x)-2T;③由x∈[0,T],f(x)∈[-T,T]当x∈[-T,0]时,f(x)∈[-2T,0];当x∈[T,2T]时,f(x)∈[0,3T]f(x)在[-T,2T]上的值域为[-2T,3T];④f(x)是类周期函数f(x+T)=f(x)+T(x+T)+g(x+T)=x+g(x)+Tg(x+T)=g(x)g(x)是周期函数;⑤由f(x)=f(x-T)+Ty=f(x)的图像按向量a=(T,T)平移后所得图像与y=f(x)的图像重合.故选①③④⑤.[点评]:本题中引入了“类周期函数”,为使母题具有更强的包容性,我们首先扩容“类周期函数”:若定义在R上的函数f(x)满足:存在非零常数T和常数λ,使得:x∈R,f(x+T)=f(x)+λT,则称函数f(x)是“类周期函数”,T叫函数f(x)的“类周期”,λ叫函数f(x)的增高系数.那么这样的类周期函数有哪些本质性质呢？①f(x)是以T为类周期,λ为增高系数的类周期函数f(x)=λx+b+g(x),其中,g(x)是以T为周期的周期函数;当f(x)=λx+b+g(x)时,其中,g(x)是以T为周期的周期函数f(x+T)=λ(x+T)+b+g(x+T)=λx+a+g(x)+λT=f(x)+λT;又由f(x)是以T为类周期,λ为增高系数的类周期函数f(x+T)=f(x)+λTf(x+T)-λ(x+T)=f(x)-λx;令g(x)=f(x)-λx,则g(x)是以T为周期的周期函数f(x)=λx+g(x);②若f(x)是类周期为T,λ为增高系数的类周期函数,则f(kT+a)=λkT+f(a);因函数g(x)=f(x)-(λx+b)是以T为周期的周期函数g(a)=g(kT+a)=f(kT+a)-[λ(kT+a)+b]f(kT+a)-(λkT+λa+b)=f(a)-(λa+b)f(kT+a)=λkT+f(a)③若f(x)是类周期为T,λ为增高系数的类周期函数,则y=f(x)的图像按向量a=(T,λT)平移后所得图像与y=f(x)的图像重合;y=f(x)的图像按向量a=(T,λT)平移后得:y=f(x-T)+λT=f(x)+λT=f(x)与y=f(x)的图像重合;由此可得y=f(x)的图像:yyOxOx类周期函数f(x)的图像的“周期”不再沿平行于x轴的直线展开,而是沿着直线y=λx+a展开;类周期函数f(x)的图像类似于物理学中的阻尼振荡.④若f(x)是类周期为T,λ为增高系数的类周期函数,且在[0,T]上的值域是[m,M],则f(x)在[λkT,λkT+T]上的值域是[λkT+m,λkT+M];由②易知该结论成立.类周期函数的表现形式还有:㈠若存在非零常数T和λ,使得对任意x∈R,有f(x+T)=λTf(x)成立,则称函数f(x)是“准周期函数”,T叫函数f(x)322[母题]Ⅰ(5-47):类周期函数(108)的“准周期”,λ叫函数f(x)的伸缩系数;我们感兴趣的是“准周期函数”与“类周期函数”的关系,通过探究可得:函数f(x)是恒正的“准周期函数”的充要条件是f(x)=ag(x),其中,a0,a≠1,g(x)是“类周期函数”;由f(x+T)=λTf(x)logaf(x+T)=loga[λTf(x)]logaf(x+T)=logaf(x)+loga(λT)g(x)=logaf(x)是“类周期函数”f(x)=ag(x),其中,g(x)是“类周期函数”;㈡若存在常数T、λ和μ(λT≠0),使得对任意x∈R,有f(x+T)=λTf(x)+μT成立,则称函数f(x)是“广义准周期函数”,T叫函数f(x)的“准周期”,λ叫函数f(x)的伸缩系数,μ叫函数f(x)的增高系数;对广义准周期函数:①当λT=1,μ=0时,f(x)是以T为周期的周期函数;②当λT=1,μ≠0时,f(x)是类周期函数;③当μ=0时,f(x)是准周期函数;④当λT≠1时,由f(x+T)=λTf(x)+μTf(x+T)+1TT=λT[f(x)+1TT]g(x)=f(x)+1TT是“准周期函数”;㈢若存在非零常数T和以kT(k∈Z)为周期的周期函数g(x),使得对任意x∈R,有f(x+T)=f(x)+g(x)成立,则称函数f(x)是“和周期函数”,T叫函数f(x)的“和周期”;类似地可定义:若存在非零常数T和以kT(k∈Z)为周期的周期函数g(x),使得对任意x∈R,有f(x+T)=g(x)f(x)成立,则称函数f(x)是“积周期函数”,T叫函数f(x)的“积周期”;关于和、积周期函数我们有:①f(x+ik)=f(x)+g(x)+g(x+T)+…+g(x+(i-1)T);②f(x)是“和周期函数”的充要条件是g(x)=af(x)(a0,a≠1)是“积周期函数”(证明略).在高考中,类周期函数于2011年浮出水面,并可能形成源远流长的演变过程.[子题](1):(2002年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=.[解析]:由f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1f(x)+5≤f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5f(x+1)=f(x)+1(f(x)是类周期函数);又由g(x)=f(x)+1-xg(x+1)=f(x+1)+1-(x+1)=f(x)+1-x=g(x)g(2002)=g(1)=f(1)=1.注:本题是类周期函数在中国中学数学中出现的第一题,此题一经面世,就被争相变用,各种变式层出不穷,真可谓是类周期函数的题根.[子题](2):(2011年上海高考试题)(理)设g(x)是定义在R上以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为.[解析]:由x∈[3,4],x+g(x)∈[-2,5]g(x)∈[-5,1];又因g(x)是定义在R上以1为周期的函数x∈R,g(x)∈[-5,1]当x∈[-10,-9]时,f(x)=x+g(x)∈[-15,-8];当x∈[-9,-8]时,f(x)=x+g(x)∈[-14,-7];…;当x∈[9,10]时,f(x)=x+g(x)∈[4,11]f(x)在区间[-10,10]上的值域为[-15,11].注:去抽象现具体,脱下外衣,直接给出一个类周期函数,直白交代类周期函数的结构,凸显类周期函数的本质.[子题](3):(2003年上海高考试题)己知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(Ⅰ)函数f(x)=x是否属于M？说明理由;(Ⅱ)设函数f(x)=ax(a0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;(Ⅲ)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由f(x+T)=Tf(x)x+T=Tx(T-1)x=T对任意实数x,不恒成立.故f(x)M;(Ⅱ)设aT=T,则f(x+T)=ax+T=aTax=Tax=Tf(x)f(x)=ax∈M;(Ⅲ)由f(x)=sinkx∈Mf(x+T)=Tf(x)sin(kx+kT)=TsinkxT=1,且sin(kx+kT)=sinkx;或T=-1,且sin(kx+kT)=-sinkxk=2mπ,或k=(2m-1)πk=mπ,m∈Z实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.注:本题是上海高考中,首次出现的另一类类周期函数问题,可见类周期函数的广泛存在性以及其研究的价值.[子题系列]:[母题]Ⅰ(5-47):类周期函数(108)3231.(2012届山东省莱芜市高三上学期期末考试试题)函数y=3x+sinx的图象大致是()2.(2011年山东高考试题)函数y=2x-2sinx的图象大致是()(A)(B)(C)(D)3.(2008年福建省高一数学夏令营选拔试题)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对一切正数x均有f(3x)=3f(x)成立,且当1≤x3时,f(x)=1-|x-2|,则f(100)=.4.(2011年上海高考试题)(文)设g(x)是定义在R上以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为.5.(2012年北京市中学生数学竞赛高一试题)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x²-2x,则f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为()(A)-91(B)-31(C)31(D)916.(2011年四川高考试题)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=3f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)=-x2+2x,设f(x)在[2n-2,2n)上的最大值为an(n∈N+),且{an}的前n项和为Sn,则nlimSn=()(A)3(B)25(C)2(D)237.(2010年广东高考试题)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2).其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(Ⅰ)求f(-1),f(2.5)的取值;(Ⅱ)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(Ⅲ)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.这道题类周期函数问题,8.(原创题)己知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.关于集合M给出下列命题:①若f(x)=ax(0a1),则f(x)∈M;②若f(x)=sin(πx),则f(x)∈M;③若f(x+21)=-f(x),则f(x)∈M;④若f(x)是周期为T的周期函数,且g(x)∈M,则f(x)g(x)∈M;⑤若f(x)是周期为T(T1)的周期函数,且g(x)∈M,则f(x)+g(x)∈M.其中正确的命题是(写出所有正确命题的编号).9.(2014年安徽高考试题)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx,当0≤xπ时,f(x)=0,则f(623)=()(A)21(B)23(C)0(D)-2110.(2005年全国高中数学联赛河南预赛试题)若集合M满足下列性质的函数f(x)的全体,存在非零常数T,对任意的x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.若函数f(x)=sinkx∈M,则实数k的取值范围是.