数论中埃米特恒等式证明

数论中埃米特恒等式证明证明下列命题：（1）*,NnRx，且1至x之间的整数中，有][nx个是n的倍数。（2）若,!||np则][][][)!(32pnpnpnnp。（3）x为实数，n为正整数，求证：（埃米特恒等式）][]1[]2[]1[][nxnnxnxnxx。证明：（1）因为1][][nxnxnx，即nnxxnnx)1]([][故*,NnRx，且1至x之间的整数中，有][nx个是n的倍数。（2）由于p是质数，因此!n含p的方次数)!(np一定是1,2,3，nn,1,各数中含p的方次数的总和。由（1）知1,2,3，nn,1,中有][pn个p倍数，有][2pn个2p的倍数，┈，所以][][][)!(32pnpnpnnp（3）不妨设0x，①当][]1[xnnx时，即1}{011}{xnnnx所以]1[]2[]1[][nnxnxnxx][xn，而][}]{[][}]{][[][xnxnxnxnxnnx故等式此时成立。②当1][]1[xnnx时，设2,,2,1,0nk，使得，1][]1[],[][xnkxxnkx，则1}]{[}{1}{121}{11}{knxnknxnknnknxnknnkxnkx所以1][)1])([1(])[1(]1[]2[]1[][knxnxknxknnxnxnxx1][}]{[][}]{][[][knxnxnxnxnxnnx故][]1[]2[]1[][nxnnxnxnxx。综合①②得，x为正实数时，n为正整数，][]1[]2[]1[][nxnnxnxnxx成立。同理可证得0x时，结论也成立；当0x时，结论显然成立。综合上述得，x为实数时，n为正整数，][]1[]2[]1[][nxnnxnxnxx成立。