基本不等式及不等式的应用-高考真题复习-高考复习

§7.3基本不等式及不等式的应用高考文数(课标Ⅱ专用)考点基本不等式的应用1.(2015福建,5,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于 ()A.2B.3C.4D.5xayb五年高考自主命题·省（区、市）卷题组答案C因为直线 + =1(a0,b0)过点(1,1),所以 + =1.所以a+b=(a+b)· =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.xayb1a1b11ababbaabba2.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足 + = ,则ab的最小值为 ()A. B.2C.2 D.41a2bab22答案C依题意知a0,b0,则 + ≥2 = ,当且仅当 = ,即b=2a时,“=”成立.因为 + = ,所以 ≥ ,即ab≥2 ,所以ab的最小值为2 ,故选C.1a2b2ab22ab1a2b1a2babab22ab223.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2 ,则a+b的最小值是 ()A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 ab3333答案D由log4(3a+4b)=log2 ,得3a+4b=ab,且a0,b0,∴a= ,由a0,得b3.∴a+b=b+ =b+ =(b-3)+ +7≥2 +7=4 +7,即a+b的最小值为7+4 .ab43bb43bb4(3)123bb123b12334.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40 =160(元)(当且仅当a=b时等号成立).故选C.ab5.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示. 易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即 csin60°+ asin60°= acsin120°,∴a+c=ac,∴ + =1,∴4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.1212121a1c11acca4acca4ac32一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线, ∴ = = ,∵DE∥CB,∴ = = = ,∴ =  , =  .∴ =  +  .∴ = ,∴1= + +2· · | |·| |× ,∴1= ,∴ac=a+c,∴ + =1,BABCADDCcaADACAEABDEBCcacBEaacBAEDcacBCBDaacBAcacBC2BD2acBABCacac2aBAac2cBCacaaccacBABC1222()()acac1a1c∴4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.11acca4acca4ac32一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A ,C .∵A,D,C三点共线,∴ ∥ ,∴  + c =0,∴ac=a+c,∴ + =1,∴4a+c=(4a+c) =5+ + ≥9,当且仅当 = ,即a= ,c=3时取“=”.3,22cc3,22aaADDC12c32a3212a1a1c11acca4acca4ac326.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为.18b答案 14解析本题主要考查运用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+ =2a+2-3b≥2 =2 =2 = .当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值,为 .18b322ab32ab621418b14易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.7.(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.xayb答案8解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得 + =1,∵a0,b0,∴2a+b=(2a+b) =2+ + +2≥4+2 =8 .故2a+b的最小值为8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab当且仅当即时等号成立8.(2017天津,13,5分)若a,b∈R,ab0,则 的最小值为.4441abab答案4解析本题考查基本不等式的应用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴ ≥ =4ab+ ,由于ab0,∴4ab+ ≥2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 ,故当且仅当 时, 的最小值为4.4441abab2241abab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.9.(2015山东,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y= (x,y∈R,xy≠0).当x0,y0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.22xyxy答案 2解析x⊗y+(2y)⊗x= + = = = + ,∵x0,y0,∴ + ≥2 = ,当且仅当 = ,即x= y时等号成立,故所求最小值为 .22xyxy2242yxyx22222242xyyxxy2222xyxy2xyyx2xyyx1222xyyx2210.(2014辽宁,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时, + + 的最小值为.1a2b4c答案-1解析由题意得c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab.∵2ab≤ ,当且仅当2a=b时取“=”,∴-6ab≥-3 ,∴c=(2a+b)2-6ab≥(2a+b)2-3 ,即c≥ ,∴|2a+b|≤2 ,∴当且仅当2a=b时,|2a+b|有最大值2 ,此时|2a+2a|=2 ,∴c=4a2,∴ + + = + + = + = -1≥-1,∴ + + 的最小值为-1.222ab222ab222ab2(2)4abccc1a2b4c1a22a244a2a21a211a1a2b4c评析本题考查基本不等式及函数思想的应用,考查了分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.灵活运用基本不等式是求解的关键.11.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案 63解析∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥ ,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥ = ,∴a2≤ ,∴- ≤a≤ ,故a的最大值为 .2()2bc2()2bc22a2363636312.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y= ×6+4x=4 ≥240.当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.600x900xx900x易错警示1.a+b≥2 (a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.ab2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.13.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F= .(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.2760001820vvvl答案(1)1900(2)100解析(1)当l=6.05时,F= ,∴F= = ≤ =1900,当且仅当v= ,即v=11时取“=”.∴最大车流量为1900辆/小时.(2)当l=5时,F= = ,∴F≤ =2000,当且仅当v= ,即v=10时取“=”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000-1900=100辆/小时.27600018206.05vvv27600018121vvv7600012118vv76000121218vv121v27600018205vvv7600010018vv76000100218vv100v考点基本不等式的应用1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最小值时,x+2y-z的最大值为 ()A.0B. C.2D. zxy9894教师专用题组答案C = = -3+ ≥2 -3=1,当且仅当 = ,即x=2y时等号成立.此时z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2.∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y-1)2+2,∴当y=1,x=2,z=2时,x+2y-z取最大值,最大值为2,故答案为C.zxy2234xxyyxyxy4yx4xyyxxy4yx评析本题考查基本不等式、二次函数的基础知识,考查综合运用知识解决问题的能力.2.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 ()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]答案D因为2x0,2y0,所以1=2x+2y≥2 =2 ,故 ≤ ,即2x+y≤ =2-2,所以x+y≤-2,故选D.22xy2xy2xy12143.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.ax答案36解析∵x0,a0,∴f(x)=4x+ ≥2 =4 ,当且仅当4x= 时等号成立,此时a=4x2,由已知x=3时函数取得最小值,所以a=4×9=36.故应填36.ax4axxaax4.(2013浙江,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=.答案-1解析令x=0,有0≤b≤1,令x=1,有a+b=0,∴b=-a,∴x4-x3+ax+b=x4-x3-b(x-1)=(x-1)(x3-b).由(x-1)(x3-b)≥0对x≥0恒成立知b=1,否则b∈[0,1),当x∈( ,1)时,有x-10,x3-b0.从而(x-1)(x3-b)0,矛盾.∴b=1,故a=-1,即ab=-1.3b5.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则 + 的最小值为.12||a||ab答案 34解析∵a+b=2,b0,∴b=2-a0,得a2.令t= + = + ,(i)当0a2时,t= + = + + ≥ +2 = ,当且仅当 = ,即b=2a,a= ∈(0,2)时,t取得最小值为 .(ii)当a0时,t=- - =- + + ≥- +2 = ,当且仅当- =- ,即b=