量子力学第三章-量子力学中的力学量

Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism1第三章量子力学中的力学量TheDynamicalvariableinQuantumMechanismChap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism2引言经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念——算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我们学习中的重点。Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism33.1表示力学量的算符operatorfordynamicalvariable3.2动量算符与角动量算符momentumoperatorandangularmomentumoperator3.3电子在库仑场中的运动ThemotionofelectronsinCoulombfield3.4氢原子Hydrogenatom3.5厄米算符本征函数的正交性OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators3.6力学量算符与力学量的关系RelationshipbetweenOperatoranddynamicalvariable3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciple3.8力学量随时间的变化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws讲授内容Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism4学习内容1．坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；2．角动量算符的表示形式及相关的对易关系；3．动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和函数归一化；4．角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；5．正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率分布；电离能和里德伯常数；6．量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函数组成正交完备集；7．在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；8．不确定关系及其应用；9．守恒量的判断方法。Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism5重点掌握内容一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用厄米算符表示；状态用厄米算符本征态表示，力学量算符的本征值为力学量的可测值三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算符）及它们的本征值。一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标算符与动量算符的对易关系，角动量算符对易关系）三个定理:共同本征态定理（包括逆定理）不确定关系力学量守恒定理Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism6由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某一状态时，一般而言，其力学量（如坐标、动量和能量等）不一定具有确定的值，而以一定几率分布取一系列可能值（当然，可能在某些特殊的状态，有些力学可取确定值）。若知道粒子在动量表象中的波函数，同理可求出粒子动量PxPyPz或的平均值。),(tpCP3.1表示力学量的算符1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入若已知粒子在坐标表象中的状态波函数，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标或的平均值),(tr),,(zyxrChap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism7（1）坐标平均值33/21(,)(,)(2)iPrrtCPtedP设粒子的状态波函数为或),(tr),(tPC33/21(,)(,)(2)iPrCPtrtedrrdtrrdtrw323),(),(粒子的位置处在：间的几率为~,~,~xxdxyydyzzdz3.1表示力学量的算符（续1）rdtrrtrrdtrwrr3*3),(),(),(坐标平均值Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism8利用计算出坐标的平均值),(tPCrPdtPCrtPCr3*),(ˆ),(ˆPxyzriiijkPPP称为坐标算符Prove：rdtrrtrr3*),(),(*333/2(1(,)[(,2))]iPrCPtedPrtrdr3.1表示力学量的算符（续2）对此作一次分部积分*333/21(,)[(,)](2)iPrPrtCPtedPdriChap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism9*33331[][(,)(),])2(iirPPPriCPCPtetedPdPdr()*33331[](2)(,)(,)iPPPrCedrPtiCPtdPdP*33(,)(),)(PCPtiCPtdPPdPP*3(,)(,)PCPtCPtdPi*(,)(,)ˆxyzCPtCPtdPdPdPr3.1表示力学量的算符（续3）*333/21(,)[(,)()](2)iiPrPrPrtCPteCPtedPdriiChap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism10（2）动量平均值粒子的动量值处于~,~,~xxxyyyzzzPPdPPPdPPPdP间的几率为:PdtPCPdtPw323),(),(利用坐标为变量的波函数计算动量平均值),(tr其中─坐标算符ˆPxyzriiijkppprdtrPtrP3*),(ˆ),(3.1表示力学量的算符（续4）PdtPCPtPCPdtPCPP3*32),(),(),(动量平均值Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism11Prove:PdtPCPtPCP3*),(),(33/2*31[(,)](2(,))iPrrCPtPdtPedr*333/21(,)(,)[](2)iPrrtCPtdPiedr*3/3321([(,)((,),)))](2iiPrPrrtieirtCPtedrdP─动量算符iPˆ33*331[(,)](2)[((,))]iPiPrrirtrteedrddPr3.1表示力学量的算符（续5）Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism12*33(,)(,)()rtirtrrdrdr*3(,)(,)irtrtdr*(,)(,)ˆrtrtdxdydPz─动量算符ˆPiiijkxyz其中3.1表示力学量的算符（续6）rr()*3331(,)(,)2iPrrrtirtedPdrdrChap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism13结论由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动量均要用相应的算符代入积分式。利用坐标为变量的波函数计算坐标平均值时，坐标算符，就是坐标本身；利用动量为变量的波函数计算坐标平均值时，坐标算符为),(trrrˆ),(tPCPirˆ利用坐标为变量的波函数计算动量平均值时，动量算符；利用动量为变量的波函数计算动量平均值时，动量算符就是动量本身),(triPˆ),(tPCPPˆ3.1表示力学量的算符（续7）Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism14对一函数作用得到另一函数的运算符号vuFˆdxFˆvudxEx.dxdFˆvudxdxFˆvxu2．表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系（1）算符的定义称为算符ˆF(2）算符的本征方程算符作用在函数上，等于一常数乘以Fˆ3.1表示力学量的算符（续8）即Fˆ此称为算符的本征方程Fˆ算符的基本性质参见教材p46-49Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism15称为其本征值，为其本征函数。(3）力学量算符表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。哈密顿算符Hˆ),(),(2),(ˆ22trtrUtrH动量算符Pˆ),(),(ˆtritrP坐标算符rˆ),(),(ˆtrrtrr例如当波函数为时),(tr3.1表示力学量的算符（续9）Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism16Ex.动能算符Tˆ22222ˆˆPT角动量算符LˆriPrLˆˆ将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广，便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。),(ˆ)ˆ,(ˆˆirFPrFF若量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表示中将动量换成动量算符而得出。Fˆ(,)FrPPˆPF3.1表示力学量的算符（续10）力学量算符规则——即构造力学量算符的规则：Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism17（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F的算符是将经典表示中的坐标变量换成坐标算符Pirˆr)(PrF（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。ˆˆ(,)(,)PFrPFiP(,)FrP即3.1表示力学量的算符（续11）注Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism18力学量算符坐标表象动量表象坐标算符ˆrˆrrˆpri动量算符ˆPˆPiˆPP力学量算符ˆˆˆ,FrPˆˆˆ,,PFrPFiPˆˆˆ,,FrPFri其中ijkxyzPxyzijkPPP3.1表示力学量的算符（续12）Chap.3TheDynamicalvariableinQuantumMechanism19(4）力学量算符与力学量测量值的关系在第二章讨论哈密顿算符的本征值问题时已看到，当体系处在的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系