等比数列的概念及通项公式

学习目标：1.理解等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式．会解决知道n,中的三个,求另一个的问题．学习重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．1,,naaq一、阅读课本并思考讨论下列问题1、等比数列定义是什么？2、如何推导等比数列的通项公式？3、等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？4、等比中项是怎样定义的？dnaan)1(13、等差数列{an}的通项公式为：)()(1Nndaann常数1．定义：2、等差中项：如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项。2abA且回顾等差数列：引例：(1)如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816…曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。1111124816，，，，，…如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：(2):观察思考：以下几个数列有何共同特点?(1)2，4，8，16，…(2)2，2,4,4…22(4)5,5,5,5,…(3)1,,,,…21418121nnaa21nnaa)21(1nnaa11nnaa从第二项起，每一项与它前一项之比等于同一常数一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。qaaannn1中，始终有在等比数列二、等比数列的定义：例1判断下列数列是否为等比数列：（1）1，1，1，1，1；（2）0，1，2，，4，8；（3）11111,,,,24816例2求出下列等比数列中的未知项：1(1)2,,8;(2)4,,,2abc练习：课本P481~3三、等比数列的通项公式：n212321111343111annnnnaaqaaqaqaaaqaqaaqaqqaq1nn1设是首项为a，公比为q的等比数列，则有：或所以等比数列a的通项公式为：a其中a为首项，q为公比.已知数列3，6，12，24，…此数列的第50项a50=？我们该如何求解呢？在练习1中我们已经判断过此数列是等比数列。a1=3，q=2三、探究等比数列通项公式已知等比数列{an},首项是a1，公比是q通项公式是___________;思考3：探究:等比数列的通项公式法一：递推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa……由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等比数列等差数列daa12daa213daa314……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1类比探究二.等比数列的通项公式：迭乘法qaa12qaa23qaa34……11nnqaaqaann1共n–1项×）等比数列•法二：迭加法daa12daa23daa34……dnaan)1(1daann1+）等差数列类比等比数列的通项公式：若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则注:等比数列的通项公式中，an,a1,n,q这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量。例1.在等比数列{an}中，（1）已知a1=3，q=2，n=50，求an（2）已知a3=12，a4=18，求a1和a211nnqaa.,160,20)2(;,2,3136361nnaaaaqaa求已知求）已知（中，在等比数列例111(1):22(64,*)2nnxnnnaaqqqannN1n等比数列的图象：是经过指数函数纵向伸缩后a图象上的孤立点，各点(n,a)均在函数y=的图象上。q如：数列且2112115(1)(2)?(2)(2),(2)nnnnnnnnnaaaanannaaana例在等比数列中，是否有如果数列中，对于任意的正整数都有，那么，一定是等比数列吗？例4、在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。1.定义法:）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann)0(211nnnaaa判断等比数列的方法2.中项法:三个数a,b,c成等比数列2bac例如：当a=0,c=1,b=0时，有但a,b,c并不能构成等差数列2bac思考2:类比等差中项的概念,如果三个数a，G，b组成等比数列，baGbaG242那么G叫做a和b的等比中项。练习二：求下列两数的等比中项①2，___8；②-1，____-4；③-12,_____,1.不存在求下列两组数的等比中项：(1)4,9;(2)43,43.(1)6(2)13练一练qpnmqpnmaaaa等比数列的有关性质：1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方。2、若，则性质：11mmqaa11nnqaamnmnmnqqaqaaa1111mnmnqaa可得dmaam)1(1dnaan)1(1dmnaamn)(dmnaamn)(可得等差数列等比数列类比性质：2pqrskaaaaa在等差数列中，当时，则na2(,,,,)pqrskqprskN在等比数列中，当时，则？na2(,,,,)pqrskqprskN2pqrskaaaaa1122111112211112222211()()()()()pqpqpqrsrsrskkkaaaaaaaaaqqqaqqqaqqaa12132......nnnaaaaaa1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)daann1q不可以是0d可以是0等比中项abG等差中项baA211nnqaadnaan)1(1qpnmaaaaqpnmaaaamnmnqaadmnaamn)(等差数列qaann1等比数列练习.在等比数列{an}中若a1a9=256,a4+a6=40,求公比q练习：1、已知数列x,2x+2,3x+3,…为等比数列，求此数列的第四项。2、在等比数列{an}中，已知a2=4,a5=-0.5,求an.3、已知等比数列{an}的a3=16,且a1a2…a10=265,求{an}的通项公式与a6.na51a100109aa18a例6（1）、在等比数列，已知，，求nb34b（2）、在等比数列中，求该数列前七项之积。258(3){}2,54,naaaa、在等比数列中，求例7.下图是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图2,如此继续下去,得图3……求第n个图形的边长和周长.例8、已知无穷数列,10,10,10,1051525150n求证：（1）这个数列成等比数列。（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法。等比数列的定义；等比数列的通式公式及其简单应用：类比思想的运用；拓展延伸已知数列满足（1）求证：数列是等比数列。（2）求的通项公式。)(12,111Nnaaann1nana作业：课本P47习题[A组]的第3题,[B组]第二题。四、小结：1.等比数列的概念及其通项公式2.等比数列的两个性质3.判断数列是否为等比数列的方法五、练习：课本P521--5六、作业：1.课本P53、54习题2，4，7，82.课时练第6，7课时