数列通项公式的求法

1复习提问的通项公式的定义：1.数列na数列的第n项与项数n的函数关系如果可用一个公式来表示，则称这个公式为数列的通项公式。na)(nfanna注意：不是任何数列都有通项公式。若有，通项公式也不一定是唯一的。问题:是不是任何数列都有通项公式?若有,是不是唯一的?数列通项公式的求法2dnaan)1(1),()(Nmndmnam2.等差数列的通项公式与前n项和公式dnnnaaanSnn2)1(2)(11问题：知道数列的通项公式（函数的解析式）,就可以求出数列的任何一项。哪如何求数列的通项公式？你会求什么数列的通项公式呢？等差数列与等比数列3)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn项和公式：的通项公式与前等比数列nan}{3.11nnqaa),(Nmnqamnm)2()1(11nSSnSannn的关系：项和与前的通项数列nnnSnaa.411nnnaSS4数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究其性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大.为了突破这一难点，现将求数列通项的思想方法系统归纳如下:数列通项公式求法5数列通项公式求法常用数学思想：1．化归思想；2.换元思想；3.方程思想6【思路分析】此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。已知数列的前几项，求通项公式求下列数列的一个通项公式:,5555,555,55,5)7(,0,71,0,51,0,31,0,1)6(1337,1126,917,710,1,32)5(,9910,638,356,154,32-442158303339,17532,1,1,1,1)1(－，）（，，，，，）（，，，，）（)(n1)n(11为奇数为偶数nnna2,32,16,8,4,20,1,0,11,0,1,00,1,0,1,0,1,0,17}{，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na类型一：等差数列与等比数列的通项：ma其中一项）（公比公差qd公式＝式为整数，则通项公且公比，若为等比数列，：已知例nnaqaaaaa512,124}{1748312n8}{，然后直接套用及出为等差（比）数列，求方法：若na题型二：等差数列与等比数列的通项：ma其中一项）（公比公差qd公式＝为整数，则通项公式且公比，为等比数列，若例：已知nnaqaaaaa512,124}{7483，然后套公式。与程组，解出的方与表示，得出与全部用，，，本题也可以把qaqaqaaaaa1118743124512}{838374aaaaaaan，为等比数列，则分析：是整数，又与的两根是方程与故知qxxaa4128051212428313353883)2(2321284nnnqaaqqaaaa，，12n，等比512}{8374aaaaan9类型三：类等差数列,方法归纳：累加的通项公式。求数列，，中，例：数列nnnnannaaaa)3,2,1(2211)(1nfaann即))()2()1(:(的和是可求的条件nfff分析：由已知易得naann21）1(2,,32,22,21342312naaaaaaaann),1()]1(321[21nnnaan上面各式相加得),3,2,1(22nnnan故可求和10的通项公式为列，则数且满足中，已知数列：例nnnnannaaaa2111nnnnnaannnaa11)2(2nnannann)1()2)(1(1其他解法探究：是常数数列则可构造nann)1(11645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn－得分析)1(21)1(2111nnaannaann)1(21221)1(11nnaaaannnn，故有累乘的积是可求的，且若)1()2()1(),(1nfffnfaann该题型方法归纳：na累乘法求得11变式训练：1.已知数列na中，21a满足naannn21,求数列na的通项公式2.已知数列na中，21a满足nnaannn21,求数列na的通项公式12nnaS，求知类型四：求解方法：可直接应用公式)2()1(11nSSnSannn的通项公式。的图象上，求数列均在函数点和为的前数列，其导函数为经过原点的图象例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)()(,,26)(,)(13nnaS，求知类型四：求解方法：可直接应用公式)2()1(11nSSnSannn的通项公式。的图象上，求数列均在函数，点和为的前，数列为函数的图象经过原点，其导例：已知二次函数nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)()(,26)()(nnSxxxfn2323)(22，故有略解：依题意易得56)]1(2)1(3[232221nnnnnSSannnn－－时，故当合上式时，而当1111San)(56Nnnan故14公式为的通项，则满足项和的前已知数列nnnnanSSna1)1(log.12练习:不合上式，时，当由略解32)12()12(2121)1(log:111112SaSSanSnSnnnnnnnnn)()2(2)1(3Nnnnann故15nnnanaS求通项的关系式，及与类型五：知的通项公式求，且满足项和的前列各项均正数的数重庆例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07(16nnnanaS的关系式，求通项及与类型五：知析求解。再分得出相邻两项的关系式式两式相减，子，与原关系，得另一式代替或方法总结：可考虑用)2(11nnnn17nnnanaS的关系式，求通项及与类型五：知），再求的关系式，先求出与得消（有时用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(解。两项的关系式再分析求式两式相减，得出相邻与原关系，得另一式子，代替或方法总结：可考虑用)2(11nnnn的通项公式，求且满足项和的前各项均正数的数列重庆例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07(2362nnnaaS分析：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得①②由②－①整理得2361211nnnaaS且有300)3)((1111nnnnnnnnaaaaaaaa又13)1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，，公差为是首项为故)()(1比或类等差比的关系？化为等差与找nnaa11nnnaSS的关系与可找出nnaa118的通项公式，求数列项和的前数列福建nnnnnaNnaSaSna)(2,1,)07(1.11变式训练：两式相减整理得略解：,221nnaS，而3212aa)2(32)1(12nnann故312nnaa232nna19类型六：等定系数法求递推数列的通项：的通项公式，求数列满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna)(1220（一）若数列na是相邻两项1na与na满足),(1为常数dqdqaann，则可考虑待定系数法（其中x为等定系数，满足），构造新的辅助数列是首项为，公比为q的等比数列，求出，再进一步求通项xaqxann1}{xan01xana)dqxx满足dqxx21类型六：等定系数法求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)(),(为常数dq则可考虑待定系数法设xaqxann1为待定系数，其中x()dqxx满足构造新的辅助数列}{xan是首项为xa1公比为q的等比数列，求出xan,再进一步求通项na的通项公式求数列，满足项和为的前例：数列nnnnnaNnnaSSna)(121211nnaa两式相减整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比数列，公比为是首项为故数列2121221aannnnnaa212212121故dqaann1)2(2121nnaadqxx22归纳提高：满足这样的推递关系的数列的通项求解问题（陌生的，难的，不会的），可用待定系数法转化为特殊数列（等差数列或等比数列）的通项问题（熟悉的，易，我们会的）,借助等差（比）数列的通项公式求辅助数列的通项，从而解决问题。数学思想：转化、化归思想。23类型六：等定系数法求递推数列的通项：满足与若数列相邻两项一nnaa1)(),(为常数dq则可考虑待定系数法设xaqxann1为待定系数，其中x()dqxx满足构造新的辅助数列}{xan是首项为xa1公比为q的等比数列，求出xan,再进一步求通项nadqaann1dqxx归纳提高：满足这样的推递关系的数列的通项求解问题（陌生的，难的，不会的），可用待定系数法转化为特殊数列（等差数列或等比数列）的通项问题（熟悉的，易，我们会的）,借助等差（比）数列的通项公式求辅助数列的通项，从而解决问题。数学思想：转化、化归思想。24的通项公式求数列，满足项和为的前数列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(1变式探究一：25的通项公式，求数列满足项和为的前数列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由3223134211nnnaS且1124nnnaa两式相减整理得1112144nnnnnaa可化为为什么类型呢？，转化同除以14nnnnnnaa2144111其他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24上面各式相加可得几个式子？26的通项公式，求数列满足项和为的前数列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由3223134211nnnaS且1124nnnaa两式相减整理得122211nnnnaa可化为的等比数列，公比为是首项为故数列22121212aannnnnnnnaa24222121直接应用。怎么办？不是常数，不能12n构造新数列，同除以12n1221211nnnnaa都是常数与相