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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()fx在区间[1上连续，则,1]−0x=是函数0()()xftdtgxx=∫的（）()A跳跃间断点()B可去间断点无穷间断点()C()D振荡间断点（2）设f连续且可导，，221xy+=222xyu+=1，u，则()()2222,DfuvFuvdudvuv+=+∫∫，则Fu∂=∂（）()A()2vfu′()B()2ufu′()C()2vfv′()D()2ufv′（3）设24(,),xyfxye+=则函数在原点偏导数存在的情况是()()A(0,0),(0,0)xyff′′存在存在()B(0,0),(0,0)xyff′′存在不存在()C(0,0),(0,0)xyff′′不存在存在()D(0,0),(0,0)xyff′′不存在不存在（4）设函数f连续，若2222()(,)uvDfxyfuvdxdyxy+=+∫∫，其中uvD为图中阴影部分，则Fu∂=∂（）（A）（B）2()vfu2()vfuu（C）（D）()vfu()vfuu（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若AE30A=，则（）()AEA−不可逆，不可逆EA+()BEA−不可逆，可逆EA+可逆，可逆()CEA−EA+()DEA−可逆，不可逆EA+（6）设,则在实数域上域与1221A⎛⎞=⎜⎝⎠⎟A合同矩阵为（）()A2112−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.()B2112−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠..()C2112⎛⎞⎜⎝⎠⎟()D1221−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.（7）随机变量,XY独立同分布且X分布函数为()Fx，则{}max,ZXY=分布函数为（）()A()2Fx()B()()FxFy()C()211Fx−−⎡⎣⎤⎦()D()()11FxFy−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量，()0,1XN∼()1,4YN∼,且相关系数1XYρ=，则（）()A{}21PYX1=−−=()B{}21PYX1=−=()C{}21PYX1=−+=()D{}21PYX1=+=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,xxcfxxcx⎧+≤⎪=⎨⎪⎩在(,)−∞+∞内连续，则c=.（10）函数3411xxfxxx+⎛⎞+=⎜⎟+⎝⎠，求积分()222fxdx=∫.（11）2()Dxydxdy−=∫∫，其中22:1Dxy+≤.（12）微分方程0,(1)1,xyyy′+==求方程的特解y=.（13）设3阶矩阵A的特征值1，2，2，E为三阶单位矩阵，则14AE−−=.（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则{}2PXEX==.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限201sinlimlnxxxx→.(16)（本题满分10分）设z=z（,xy）是由方程()22xyzxyzϕ+−=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ′≠−时，（1）求.dz（2）记()1,zzuxyxyxy⎛⎞∂∂=−⎜⎟−∂∂⎝⎠，求ux∂∂.(17)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxydxdy∫∫其中{(,)02,02}Dxyxy=≤≤≤≤.(18)（本题满分10分）()fx是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()220ttfxdxfxdx+=∫∫.（2）证明是周期为2的周期函数．()()()202xttgxftfsdsdt+⎡=−⎢⎣⎦∫∫⎤⎥(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05，并以年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年取出28万元，…第n年取出10+9n万元，问A至少为多少时，可以一直取下去？(20)（本题满分11分）设矩阵2221212nnaaaAaa×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，现矩阵A满足方程AXB=，其中()1,,TnXxx=，，()1,0,,0B=（1）求证()1nAna=+.（2）为何值，方程组有唯一解.a（3）a为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分11分）设A为3阶矩阵，为12,aaA的分别属于特征值1,1−特征向量，向量满足，3a32Aaaa=+3证明（1）线性无关；123,,aaa（2）令，求.()123,,Paaa=1PAP−（22）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为{}()11,0,13PXii===−10Yyfy≤≤⎧=⎨⎩其它，Y的概率密度为，记()10ZXY=+.（1）求102PZX⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z的概率密度．（23）（本题满分11分）12,,,nXXX是总体为2(,)Nμσ的简单随机样本.记11niiXXn==∑，2211()1niiSXXn==−−∑，221Sn=−TX（1）证是T2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时，求.DT2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、选择题（1）【答案】B【解】()()0000()lim()limlim0xxxxftdtgxfxfx→→→===∫，所以0x=是函数的可去间断点()gx（2）【答案】A【解】用极坐标得()()222()222011,(vuufrrDfuvFuvdudvdvrdrvfrdruv+===+∫∫∫∫∫)，()2Fvfuu∂′=∂.（3）【答案】C【解】2400011(0,0)limlim00xxxxxeefxx+→→−−′==−−00011limlim100xxxxeexx→+→+−−==−−，001lim10xxex−→−−=−−,故000011limlim00xxxxeexx−→+→−−−≠−−，所以偏导数不存在.24200011(0,0)limlim000yyyyyeefyy+→→−−′==−−=,所以偏导数存在。故选C(4)【答案】A【解】用极坐标得()()222()222011,(vuufrrDfuvFuvdudvdvrdrvfrdruv+===+∫∫∫∫∫),所以()2Fvfuu∂=∂.（5）【答案】C【解】，23()()EAEAAEAE−++=−=23()()EAEAAEAE+−+=+=,故,EAEA−+均可逆.（6）【答案】D【解】()()()221214231321EAλλλλλλλ−−−==−−=−−=+−=−−0λ,则121,3λλ=−=.记1221D−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则()()()221214231321EDλλλλλλλ−−==−−=−−=+−=−0λ,则121,3λλ=−=,正、负惯性指数相同，故选D.（7）【答案】A【解】()(){}{}max,FZPZzPXYz=≤=≤()()()()()2PXzPYzFzFzFz=≤≤==.（8）【答案】D【解】设Ya，由Xb=+1XYρ=，知道,XY正相关，得，排除A,C.0a由，得~(0,1),~(1,4)XNYN0,1,()()EXEYEYEaXbaEXb===+=+1,10,abb=×+=,排除C,故选择D.二、填空题（9）【答案】1【解】由()()22limlim11xcxcfxfxccc+−→→=⇒+=⇒=.（10）【答案】1ln32【解】222111112xxxxfxxxxxx++⎛⎞+==⎜⎟⎝⎠⎛⎞++−⎜⎟⎝⎠，所以()22tftt=−，()()()2222222222211ln2ln6ln2ln32222xfxdxdxxx==−=−=−∫∫1.（11）【答案】2π【解】()22221()2DDDxydxdyxdxdyxydxdy−==+∫∫∫∫∫∫11200112222rdrrπππ==∫=.（12）【答案】1yx=【解】由,,lnlndyydydxyxdxxyx−==−=−所以1xy=，又(1)1y=，所以1yx=.（13）【答案】3【解】A的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵，使得P1112,,2PAPBAPBPAPBP111−−−−−⎛⎞⎜⎟====⎜⎟⎜⎟⎝⎠，11111111444441AEPBPEPBPPEPPBEPBE−−−−−−−−−−=−=−=−=−.因111212B−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则13411BE−3−==.（14）【答案】112−e【解】因为，所以2()DXEXEX=−222EX=，X服从参数为1的泊松分布，所以{}1122PXe−==.三、解答题（15）【解】22001sin1sinlimlnlimln11xxxxxxxx→→⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠−32000sincos1sin1limlimlim36xxxxxxxxxx→→→−−===−=−6（16）【解】(1)()()22xdxydydzxyzdxdydzϕ′+−=++⋅++,()()()122dzxdxydyϕϕϕ′′′+=−++−+,()()221xdxydydzϕϕϕ′′−++−+=′+()1ϕ′≠−∵.(2)()1,()12()11122211zzuxyxyxy2xyxyyxxyϕϕϕϕϕϕ∂∂=−−∂∂′′−+−+=−′′−++−+=⋅=′′−++()()()()22322(1)2(1)2(12)2(12)1111xzuxxx31xϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ′−∂′′+′′−+′′′′′′′∂+++∂==−=−=−∂′′′+++−+′+.（17）【解】曲线xy=1将区域分成两（18）【证明】（1）对于()2ttfxdx+∫，令2xu=+，则()()202tttfxdxfudu+=+∫∫，因为()fx的周期为2，所以()()220ttfxdxfxdx+=∫∫，所以()()()()()20222020ttttfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx++=++=∫∫∫∫∫.（2）()()()22022xttgxftfsdsdt++⎡⎤+=−⎢⎥⎣⎦∫∫()()()()222022xtxttxtftfsdsdtftfsdsdt+++⎡⎤⎡⎤=−+−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫()()()222xtxtgxftfsdsdt++⎡⎤=+−⎢⎥⎣⎦∫∫()()()2222xxtxxtgxftdtfsdsdt+++=+−∫∫∫.因为()()220ttfxdxfxdx+=∫∫，所以()()22220xtxxtxfsdsdtfsdsdt+++=∫∫∫∫()()222002xxtfsdsfsds+=⋅=⋅∫∫，()()22022xxfxdxfxdx+=∫∫，所以，()()()()(2200222gxgxftdtfsdsgx+=+−=∫∫)所以是周期为2的周期函数.()gx（19）【解】设An为用于第n年的贴现值，则()1091+=+nnnAr.故()()()111111091110920091111n∞∞∞∞∞=====+⎛⎞===+=+⎜⎟+⎝⎠+++∑∑∑∑∑nnnnnnnnnnnAArrrrn.设，()1(),1,1∞==∈−∑nnSxnxx因为()()('21,1,111∞=⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟−⎝⎠−⎝⎠∑nnxxSxxxxxxx)−，所以1111.0⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠SSr5=420（万元）.故A=200+9×420=3980(万元)，即至少应存入3980万元.（20）【解】（1）2222221213210122211222130124034(1)2(3231(1)0==+==⋅⋅⋅=++…naaaaaaaaaAaaaaaaaaanaannnan1).a（2）方程组有唯一解,由，知AxB=0A≠，又(1)nAna=+，故0a≠.记，由克莱默法则知，nnAA×=22222(1)(1)(1)(1)11222222121112102122112221212121221122.(1)(1)−×−−×−×−======++nnnnnnnnaaaaaaaaaaAAaaxaaAAaaaaaaaaaaaanannana（3）方程组有无穷多解，由0A=，有，则0a=()011010|00100AB⎛⎞