2008年考研数学三真题及解析

-1-2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()fx在区间[1,1]上连续，则0x是函数0()()xftdtgxx的（）A跳跃间断点.B可去间断点.C无穷间断点.D振荡间断点.（2）曲线段方程为()yfx，函数()fx在区间[0,]a上有连续的导数，则定积分0()atafxdx等于（）A曲边梯形ABCD面积.B梯形ABCD面积.C曲边三角形ACD面积.D三角形ACD面积.（3）已知24(,)xyfxye，则（A）(0,0)xf，(0,0)yf都存在（B）(0,0)xf不存在，(0,0)yf存在（C）(0,0)xf不存在，(0,0)yf不存在（D）(0,0)xf，(0,0)yf都不存在（4）设函数f连续，若2222()(,)uvDfxyfuvdxdyxy，其中uvD为图中阴影部分，则Fu（）（A）2()vfu（B）2()vfuu（C）()vfu（D）()vfuu（5）设A为阶非0矩阵E为阶单位矩阵若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.（6）设1221A则在实数域上域与A合同矩阵为（）A2112.B2112.C2112.D1221.（7）随机变量,XY独立同分布且X分布函数为Fx，则max,ZXY分布函数为（）-2-A2Fx.BFxFy.C211Fx.D11FxFy.（8）随机变量~0,1XN，~1,4YN且相关系数1XY，则（）A211PYX.B211PYX.C211PYX.D211PYX.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,xxcfxxcx在(,)内连续，则c.（10）设341()1xxfxxx，则222()______fxdx.（11）设22{(,)1}Dxyxy，则2()Dxydxdy.（12）微分方程0xyy满足条件(1)1y的解y.（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则14_____AE.（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则2PXEX.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sinlimlnxxxx.(16)（本题满分10分）设(,)zzxy是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中具有2阶导数且1时.（1）求dz（2）记1,zzuxyxyxy，求ux.(17)（本题满分11分）计算max(,1),Dxydxdy其中{(,)02,02}Dxyxy.(18)（本题满分10分）设fx是周期为2的连续函数，-3-（1）证明对任意实数t，有220ttfxdxfxdx；（2）证明202xttGxftfsdsdt是周期为2的周期函数．(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？(20)（本题满分12分）设矩阵2221212nnaaaAaa，现矩阵A满足方程AXB，其中1,,TnXxx，1,0,,0B，（1）求证1nAna;（2）a为何值，方程组有唯一解;（3）a为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A为3阶矩阵，12,aa为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3a满足323Aaaa，证明（1）123,,aaa线性无关；（2）令123,,Paaa，求1PAP.（22）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为11,0,13PXii，Y的概率密度为1010Yyfy其它，记ZXY（1）求102PZX；（2）求Z的概率密度．（23）（本题满分11分）12,,,nXXX是总体为2(,)N的简单随机样本.记11niiXXn，2211()1niiSXXn，221TXSn.（1）证T是2的无偏估计量.-4-（2）当0,1时，求DT.-5-2008年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】B【详解】0000()lim()limlim0xxxxftdtgxfxfx，所以0x是函数()gx的可去间断点．(2)【答案】C【详解】00000()()()()()()aaaaaxfxdxxdfxxfxfxdxafafxdx其中()afa是矩形ABOC面积，0()afxdx为曲边梯形ABOD的面积，所以0()axfxdx为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】240000(,0)(0,0)11(0,0)limlimlim0xxxxxxfxfeefxxx0011limlim1xxxxeexx，0011limlim1xxxxeexx故(0,0)xf不存在．242020000(0,)(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyyyyyyfyfeeyfyyyy所以(0,0)yf存在．故选B.(4)【答案】A【详解】用极坐标得222()222011,()vuufrrDfuvFuvdudvdvrdrvfrdruv所以2Fvfuu.(5)【答案】C【详解】23()()EAEAAEAE，23()()EAEAAEAE.故,EAEA均可逆．(6)【答案】D【详解】记1221D，则2121421ED，-6-又2121421EA，所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A【详解】2max,ZZZZFzPZzPXYzPXzPYzFzFzFz.(8)【答案】D【详解】用排除法.设YaXb，由1XY，知道,XY正相关，得0a，排除A、C由~(0,1),~(1,4)XNYN，得0,1,EXEY所以()()EYEaXbaEXb01,ab所以1b.排除B.故选择D.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知||0cx，所以22,()1,2,xxcfxxcxcxxc因为22limlim(1)1xcxcfxxc，22limlimxcxcfxxc又因为()fx在(,)内连续，()fx必在xc处连续所以limlim()xcxcfxfxfc，即2211ccc.(10)【答案】1ln32【详解】222111112xxxxfxxxxxx，令1txx，得22tftt所以22222222222111ln2ln6ln2ln32222xfxdxdxxx.(11)【答案】4【详解】22221()2DDDxydxdyxdxdyxydxdy利用函数奇偶性21200124drrdr.-7-(12)【答案】1yx【详解】由dyydxx，两端积分得1lnlnyxC，所以1xCy，又(1)1y，所以1yx.(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2，所以1A的特征值为1,12,12，所以14AE的特征值为4113，41211，41211所以143113BE.(14)【答案】112e【详解】由22()DXEXEX，得22()EXDXEX，又因为X服从参数为1的泊松分布，所以1DXEX，所以2112EX，所以21111222PXee！.三、解答题(15)【详解】方法一：22001sin1sinlimlnlimln11xxxxxxxx32000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxxxxx方法二：2230001sincossincossinlimlnlimlim2sin2xxxxxxxxxxxxxxx洛必达法则20sin1lim66xxxx洛必达法则(16)【详解】(I)22xdxydydzxyzdxdydz122dzxdxydy221xdxydydz1(II)由上一问可知22,11zxzyxy，所以11221222,()()1111zzxyyxuxyxyxyxyxy-8-所以223322(1)2(1)2(12)2(12)11111xzuxxxx.(17)【详解】曲线1xy将区域分成两个区域1D和23DD，为了便于计算继续对区域分割，最后为max,1Dxydxdy123DDDxydxdydxdydxdy11222221110002211xxdxdydxdydxxydy1512ln2ln2419ln24(18)【详解】方法一：(I)由积分的性质知对任意的实数t，202202ttttfxdxfxdxfxdxfxdx令2xu，则202002ttttfxdxfudufudufxdx所以2020200ttttfxdxfxdxfxdxfxdxfxdx(II)由(1)知，对任意的t有2220tfxdxfxdx，记20afxdx，则0()2xGxfuduax.所以，对任意的x，200(2)()2(2)2xxGxGxfuduaxfuduax22022220xxfuduafudua所以Gx是周期为2的周期函数.方法二：(I)设2()()ttFtfxdx，由于()(2)()0Ftftft，所以()Ft为常数，从而有()(0)FtF.而20(0)()Ffxdx，所以20()()Ftfxdx，即220()()ttfxdxfxdx.(II)由(I)知，对任意的t有2220